正規矩陣

正規矩陣在數學中是指與自己的共軛轉置矩陣對易的復係數方塊矩陣。任意正規矩陣都可在經過一個酉變換後變為對角矩陣，反過來所有可在經過一個酉變換後變為對角矩陣的矩陣都是正規矩陣。

基本介紹

• 中文名：正規矩陣
• 外文名：Normal matrix
• 學科：線性代數

定義

有一類矩陣，如對角矩陣、實對稱矩陣（）、實反對稱矩陣（）、厄米特矩陣（）、反厄米特矩陣（）、正交矩陣（）以及酉矩陣（）等，都有一個共同的性質：。為了能夠用統一的方法研究他們的相似標準型，我們引入正規矩陣的概念。

設，且，則稱為正規矩陣。

當正規矩陣的全部特徵值為實數時，是厄米特矩陣；

當正規矩陣的全部特徵值為零或虛數時，是反厄米特矩陣；

當正規矩陣的全部特徵值的模為1時，是酉矩陣。

上面提到的幾個特殊矩陣都是正規矩陣，但正規矩陣並不限於以上幾種。如也是正規矩陣，但並不屬於上述幾種矩陣。

性質

①矩陣為正規矩陣的充要條件是：存在酉矩陣，使得酉相似於對角矩陣，即

其中是矩陣的特徵值。

②為正規矩陣，則與酉相似的矩陣都是正規矩陣；

③為正規矩陣，則必有個線性無關的特徵向量；

④為正規矩陣，則的屬於不同特徵值的特徵子空間是互相正交的。