基本介紹
- 中文名：截面積
- 外文名：Cross-sectional area
- 別名：底面積
簡介,祖暅原理（等冪等積定理）,相關條目,
簡介
一物體以特定角度觀看時的截面積（
）是該物體在此角度下正交投影的總面積。例如一高為h，半徑為r的圓柱，若沿著其中心軸，其截面積
，若沿著任一個和中心軸垂直的線，其截面積
。一個半徑為r的球體，在任意角度下的截面積均為
。一物體的截面積可由下式的曲面積分求得：
而且上述積分只針對物體最上方的表面，也就是以觀者角度可見的那一面。對於一個凸體的物體，從觀者角度到物體的射線都會和物體的表面交會二次。因此上述積分可以以取絕對值的方式，針對整個表面計算，再除以2得到截面積如下：
祖暅原理（等冪等積定理）
該原理最早由中國古代數學家劉徽提出。南北朝時又被祖沖之的兒子祖暅提出。祖沖之兩父子採用這一原理，求出了牟合方蓋的體積，進而算出球體積。在歐洲17世紀義大利數學家卡瓦列里亦發現相同定理，所以西方文獻一般稱該原理為卡瓦列里原理。
在現代的解析幾何和測度套用中，祖暅原理是富比尼定理中的一個特例。卡瓦列里沒有對這條的嚴謹證明，只發表在1635年的Geometria indivisibilibus以及1647年的Exercitationes Geometricae中，用以證明自己的Methode der Indivisibilien。以此方式可以計算某些立體的體積，甚至超越了阿基米德和克卜勒的成績。這個定理引發了以面積計算體積的方法並成為了積分發展的一個重要步驟。
