數學結構

數學結構

數學結構(mathematical structure)也稱關係結構,簡稱結構,是現代數學的一個基本概念,各種數學對象的統稱。

基本介紹

  • 中文名:數學結構
  • 外文名:mathematical structure
  • 又名:關係結構
  • 套用學科:數學
  • 定義:各種數學對象的統稱
  • 常見結構測度代數結構拓撲
歷史,定義,例子,分類,發展,

歷史

在1939年,法國的筆名是尼古拉斯·布爾巴基(Nicolas Bourbaki),它將結構作為數學的根源。 他們首先提到他們在“集體”的理論的集合,並將其擴展到1957年版的第四章。他們確定了三個母體結構:代數拓撲和秩序。

定義

數學中,一個集合上的結構,或者更一般的講類型,是由附加在該集合上的數學對象所組成,它們使得這個集合更易操作或賦予它們特殊的意義。
常見的結構包括測度代數結構拓撲,度量結構(幾何),序,和等價關係等等。
有時候,一個集契約時有幾種結構;這使得可研究的屬性更豐富。例如,序可以導出一種拓撲。又如,如果一個集合有個拓撲並是一個,而且這兩個結構滿足一定關係,則該集合成為一個拓撲群
保留結構的集合之間的映射在許多數學領域是特別感興趣的。比如保持代數結構的同態;保持拓撲結構的同胚;和差異結構保留差異結構。

例子

實數集有幾個標準結構:
  • 序:任意兩個數都可以比較大小,即全序
  • 代數結構:乘法和加法使其成為一個
  • 測度:實直線上的區間有長度
  • 幾何:它有一個度量,並且是平直的。
  • 拓撲:數和另外一個數有遠近關係。
這些關係互相關聯:
  • 序和度量分別導出它的拓撲。
  • 序和代數結構使它成為有序域。
  • 代數結構和拓撲使它成為李群(一種拓撲群)。

分類

它是對於各種數學對象,例如,有序集線性空間、群、環、拓撲空間、流形等,用集合和關係的語言給出的統一形式.結構由若干集合,定義在集合上或集合間的一些關係,以及一組作為條件的公理組成.隨著數學的發展,不斷出現許多新的數學分支,這些分支有其各自的研究對象,獨特的方法,獨自的語言.另一方面,數學不同領域的方法和思想的互相滲透,建立了現代數學的共同邏輯基礎(數理邏輯)、共同的基本概念(集合)和共同的方法(公理化方法).法國布爾巴基學派採用全局觀點,著重分析各個數學分支之間的結構差異和內在聯繫,他們認為數學的基本結構有三種,稱為母結構:
1.代數結構:由集合及其上的運算組成,如群、環、域、線性空間等。
2.序結構:由集合及其上的序關係組成,如偏序集、全序集、良序集。
3.拓撲結構:由集合及其上的拓撲組成,如拓撲空間、度量空間、緊緻集、列緊空間等。
通過以上三種母結構的變化、複合、交叉形成各種數學分支。

發展

中國日報網環球線上訊息:據英國《泰晤士報》報導,18名世界頂級數學家憑藉他們不懈的努力,歷時四年,完成了世界上最複雜的數學結構之一“E8”的計算過程。如果在紙上列出整個計算過程所產生的數據,其所需用紙面積可以覆蓋整個曼哈頓。

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