數學是理性思維和想像的結合，它的發展建立於社會的需求，所以就有了數學美。主要有：統一性、對稱性、簡單性。
基本介紹
- 書名：高等數學
- 作者：傅延欣，韓偉，王德，王維立
- ISBN：9787121095979
- 類別：數學
- 定價：28.00
- 出版社：電子工業出版社
- 出版時間：2009年
- 開本：16
簡介,數學人性,古今演變,和諧性,統一性,對稱性,簡單性,奇異性,表現形式,語言美,簡潔美,和諧美,奇異美,對稱美,創新美,統一美,類比美,抽象美和自由美,辯證美,
簡介
數學是理性思維和想像的結合,是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理。它的發展建立於社會的需求，所以就有了數學美。主要有：統一性、對稱性、簡單性。
數學人性
它的發展建立於社會的需求，所以就有了數學美。數學歷來以其高度的抽象性、嚴密的邏輯性被人們所賞識，卻很少有人把它與美學聯繫起來，數學起源於建築，正是對美的追求，才產生了數學。似乎數學與美學毫不相干。其實，這是對數學本質的一種誤解，是對數學與美學的關係以及數學中的美缺乏真正的了解和認識，數學以一種獨特的方式來詮釋美學。
古今演變
古今中外許多著名的數學家都曾以其親身感受對這個問題有過深刻的論述，認為數學不僅與美學密切相關，而且數學中充滿著美的因素,到處閃現著美的光輝。早在二千年多前,古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯就極度讚賞整數的和諧美，圓和球體的對稱美，稱宇宙是數的和諧體系。第五世紀著名數學評論家普洛克拉斯進而斷言：“那裡有數,那裡就有美”。近現代許多著名的數學家對數學中的美更是讚嘆不已。英國著名數理邏輯學家羅素指出:“數學,如果正常地看它,不但擁有真理,而且也具有至高的美,正如雕塑的美,是一種冷而嚴肅的美。”英國著名數學家哈代認為,不美的數學在世界上是找不到永久容身之地的。美國數學家、控制論的創始人維納則說：數學實質上是藝術的一種。
我國著名數學家華羅庚教授說過：“就數學本身而言，是壯麗多彩、千姿百態、引人入勝的……認為數學枯燥乏味的人，只是看到了數學的嚴謹性，而沒有體會出數學的內在美。”數學家徐利治教授指出：“數學園地處處開放著美麗花朵，它是一片燦爛奪目的花果園,這片段預告果園正是按照美的追求開拓出來的。”
數學中的美是千姿百態、豐富多彩的,如美的形式符號、美的公式、美的曲線、美的曲面、美的證明、美的方法、美的理論等。從內容來說,數學美可分為結構美、語言美與方法美;就形式而論,數學美可分為外在的形態美和內在的理性美。把內容和形式結合起來考察,數學美的特徵主要有兩個：一個是和諧性,一個是奇異性。
和諧性
和諧性是美的最基本、最普遍的一個特徵,任何美的東西無一不給人以和諧之感。和諧性的表現形式很多，就數學而言,其典型表現有以下幾種形式。
統一性
統一性反映的是審美對象在形式或內容上的某種共同性、關聯性或一致性,它能給人一種整體和諧的美感。數學對象的統一性通常表現為數學概念、規律、方法的統一,數學理論的統一,數學和其它科學的統一。
在數學方法上，同樣滲透著統一性的美。例如,從結構上分析，解析法、三角法、複數法、向量法和圖解等具體方法,都可以統一於數形結合法。數學中的公理化方法,使零散的數學知識用邏輯的鏈條串聯起來,形成完整的知識體系,在本質上體現了部分和整體之間的和諧統一。
（2）數學理論的統一。在數學發現的歷史過程中，一直存在著分化和整體化兩種趨勢。數學理論的統一性主要表現在它的整體性趨勢。歐幾里德的《幾何原本》,把一些空間性質簡化為點、線、面、體幾個抽象概念和五條公設及五條公理,並由此導致出一套雅致的演繹理論體系,顯示出高度的統一性。布爾基學派的《數學原本》,用結構的思想和語言來重新整理各個數學分支,在本質上揭示數學的內在聯繫,使之成為一個有機整體,在數學的高度統一性上給人一美的啟迪。
（3）數學和其它科學的統一。數學和其它科學的相互滲透，導致了科學數學化。正如馬克思所說的,一門科學只有當它成功的運用數學時,才算達到了真正完善的地步。力學的數學化使牛頓建立了經典力學體系。科學的數學化使物理學與數學趨於統一。建立在相對論和量子論兩大基礎理論上的物理學,其各個分支都離不開數學方法的套用,它們的理論表述也採用了數學的形式。化學的數學化加速了化學這門實驗性很強的學科向理論科學和精確科學過渡。生物數學化使生物學日益擺脫對生命過程進行現象描述的階段,從定性研究轉向定量研究,這個數學化的方向,必將同物理學、化學的數學化方向一樣,把人類對生命世界的認識提高到一個嶄新的水平。不僅自然科學普遍數學化了,而且數學方法也進入了經濟學、法學、人口學、人種學、史學、考古學、語言學等社會科學領域,日益顯示出它的效用。數學進入經濟學領域最大的成就是本世紀出現的計量經濟學。數學進入語言學領域，使語言學研究經歷了統計語言學、代數語言學和算法語言學三個階段。數學向文學的滲透,發現了數學的抽象推理和符號運算同文學的形象思維之間有著奇妙的聯繫。
對稱性
對稱性是和諧性的一種特殊的表現。它反映的是審美對象形態或結構的均衡性、勻稱性或變化的周期性、節律性。在現實世界中，形式上和內容上的對稱性，廣泛地存在於客觀事物之中，既有軸對稱、中心對稱、平面對稱等的空間對稱,又有周期、節奏和旋律的時間對稱,還有與時空坐標無關的更為複雜的對稱。數學的對稱美,實質上是自然物的和諧性在量和量的關係上最直觀的表現。
從數學美來講,對稱包括狹義對稱、常義對稱與泛對稱等,內容十分豐富。狹義對稱可分為代數對稱（共軛根式、共軛複數、對稱多項式、輪換對稱多項式、線性方程組的克萊姆法則、對稱矩陣、反對稱矩陣、厄米特矩陣、反厄米特矩陣等)與幾何對稱（軸對稱、中心對稱、平面對稱等）,常義對稱包括同構、同態、映射、反演、互補、互逆、相似、全等等，泛對稱包括數學對象的系統性、守恆性、不變性、周期性、對偶性、等價性和勻稱等。
簡單性
簡單、明快才能給人以和諧之感,繁雜晦澀就談不上和諧一致。因此,簡單性既是和諧性的一種表現，又是和諧性的基礎。數學美的簡單性，並非指數學對象本身簡單、淺顯,而是指數學對象由儘可能少的要素通過儘可能簡捷、經濟的方式組成,並且蘊含著豐富和深刻的內容。數學的簡單美,主要表現在數學的邏輯結構、數學的方法和表達形式的簡單性。
（2）數學方法的簡單美。簡單性是數學方法美的重要標誌。狄德羅指出：“數學中所謂美的問題是指一個難於解決的問題,所謂美的解答則是指一個困難、複雜問題的簡單回答”。這就是說,一個美的數學方法或數學證明,一般都包含著簡單性的涵義。如希爾伯特解決果爾丹問題的存在性證明方法就是數學方法簡單美的一個範例。正是由於希爾伯特的方法簡單而深刻,才使它能進一步套用到抽象代數中去,並把群、環、域的抽象理論提高到顯著的地位。
（3）數學形式的簡單美。簡單性也是數學形態美的主要特徵。數學形態美，是數學美的外部表現形態，是數學定理和數學公式(或表達式)的外在結構中呈現出來的美。形態美的主要特徵，在於它的簡單性。例如，牛頓用F=ma概括了力、質量、加速度之間的定量關係；愛因斯坦用E=mc^2 揭示了自然界的質量和能量的轉換關係；這裡F=ma、E=mc^2就外在形式而論，都是非常簡潔的，不失為數學形態美的範例。再如，數學家和語言學家周海中教授關於梅森素數分布的猜測：當2^（2^n）<p<2^（2^（n+1））時，Mp有2^（n+1）－1個是素數（p為素數；n為自然數；Mp為梅森數）。中國著名數學家張景中院士認為，“周氏猜測”以非常簡潔、優美的形式揭示了數學之美。
數學之美1
數學之美2
數學之美1數學之美2奇異性
(1 )突變性。突變是一種突發性變化，是事物從一種質態向另一種質態的飛躍。它來之突然，變化劇烈，出人意料，因而能給人一新穎奇特之感。在數學世界中，突變現象是很多的。諸如連續曲線的中斷、函式的極值點、曲線的尖點等，都給人一突變之感。法國數學家托姆創立的突變論，就是研究自然界和社會某些突變現象的一門數學學科。他運用拓撲學、奇點理論和結構穩定性等數學工具，研究自然界和社會一些事物的性態、結構突然變化的規律，所給出的拓撲模型既形象又精確，給人一種特有的美感。
(2) 反常性。反常是對常態、常規的突破，它常常以矛盾衝突的形式創造新的數學對象，豐富數學的內容，推動數學的發展，因而能給人一種革舊立新、開拓進取的美感。數學對象的反常性主要表現為：反常事實，如德國數學家魏爾斯特拉斯在1856年提出的一個處處連續又處處不可導的函式，就與人們的傳統認識 “連續函式至少在某些點處可導”相衝突；反常命題，如非歐幾何的命題“三角形的內角和小於二直角”，反常於歐氏幾何的“三角形的內角和等於二直角”；反常運算，如哈密爾頓四元數代數中“四元數乘法不可交換性”與傳統代數學的“乘法交換律”相背離；反常理論，如勒貝格積分反常於黎曼積分、非歐幾何反常於歐氏幾何等；反常方法，如阿貝爾和黑肯藉助計算機證明“四色定理”，超出了傳統數學手工式證明的研究模式。
(3) 無限性。無限歷來使哲學家、數學家為其深奧而動情，它深遠、奧妙無窮、充滿著美的魅力。1925年，在明斯特紀念魏爾斯特拉斯的會議上，希爾伯特發表了題為“論無限”的著名演講。在演講中他深有感觸的說：“沒有任何問題能象無限那樣，從來就深深的觸動著人們的感情；沒有任何觀念能象無限那樣，曾如此卓有成效的激勵著人們的智慧；也沒有任何概念能象無限那樣，是如此迫切的需要澄清。”集合論中的無限性命題令人驚嘆，諸如“無窮集合可以和它的子集建立元素之間的一一對應關係”、“兩個同心圓的圓周上的點存在一一對應關係”等等。集合論創立者康托爾發現“直線上的點和整個n維空間的點存在一一對應關係”，曾激動地說：“我看到了它，但我簡直不能相信它。”
(4) 奇巧性。奇巧的東西給人以奇異、巧妙之感，高度的奇巧更是令人賞心悅目。數學中充滿著奇巧的符號、公式、算式、圖形和方法。歐拉給出的著名公式eip+1=0,將最基本的代數數0，1，i和超越數p，e用最基本的運算符號，通過最方便的方式巧妙的組合在一起，可謂數學創造的藝術精品。歐拉求無窮級數 1/n2和的方法、蒲豐投針求p值的方法、希爾伯特解決果爾丹問題的存在性證明方法，都以其巧妙而贏得學術界的高度讚美。
(5) 神秘性。神秘的東西都帶有某種奇異色彩，使人產生幻想和揭示其奧妙的欲望。某些數學對象的本質在沒有充分暴露之前，往往會使人產生神秘或不可思議感。比如，在歷史上，虛數曾一度被看作是“幻想中的數”、“介於存在和不存在之間的兩棲物”；無窮小量dx曾長期被蒙上神秘的面紗，被英國大主教貝克萊稱為“消失了量的鬼魂”；彭加勒把集合論比喻為“病態數學”，外爾則稱康托爾關於基數的等級是“霧上之霧”；非歐幾何在長達半個世紀的時間內被人稱為“想像的幾何”、“虛擬的幾何”等等。當然，當人們認識到這些數學對象的本質後，其神秘性也就自然消失了。
弗蘭西斯·培根曾說：“沒有一個極美的東西不是在勻稱中有著某種奇異。”這句話的意思是：奇異存在於美的事物之中，奇異是相對於我們所熟悉的事物而言。一個事物十分工整對稱、十分簡潔或高度統一，都給人一種奇異感，一個新事物、新規律、新現象的被揭示，總是使人們感到一種帶有奇異的美感，令人產生一種驚奇的愉快。
和諧性和奇異性作為數學美的兩個基本特徵 ，是對數學美的兩個側面的模寫和反映，它們既相互區別，又相互依存、相互補充，數學對象就是在兩者的對立統一中顯現出美的光輝的。
表現形式
語言美
數學有著自身特有的語言———數學語言，其中包括：
1 數的語言——符號語言
關於“∏” ，《九章算術》 如斯說：“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失矣”；面對“√2”這一差點被無理的行為淹沒的無理數，我們一直難以忘懷那位因發現“邊長為1的正方形，其對角線長不能表示成整數之比”這一“數學悖論”而被拋進大海的希帕索斯（公元前五世紀畢達哥拉斯學派成員）。還有sin∂、∞ 等等，一個又一個數的語言，無不將數的完美與精緻表現得淋漓盡致。
2形的語言——視角語言
從形的角度來看——對稱性（“中心對稱”、“軸對稱”演繹了多少遙相呼應的纏綿故事）；比例性（美麗的“黃金分割法”分出的又豈止身材的絕妙配置？）；和諧性（如對數中：對數記號、底數以及真數三者之間的關聯與配套實際上是一種怎樣的經典的最佳化組合！）；鮮明性（“最大值”、“最小值” 讓我們聯想起——“山的偉岸”與“水的溫柔”，並深切地感悟到：有山有水的地方，為何總是人傑地靈的內在神韻……）和新穎性（一個接一個數學“悖論”的出現，保持了數學乃至所有自然科學的新鮮與活力）等等。
簡潔美
愛因期坦說過：“美，本質上終究是簡單性。”他還認為，只有藉助數學，才能達到簡單性的美學準則。樸素，簡單，是其外在形式。只有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美。
歐拉給出的公式：V－E+F=2，堪稱“簡單美”的典範。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點數V、棱數E、面數F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？
在數學中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：圓的周長公式：C=2πR
數學的這種簡潔美，用幾個定理是不足以說清的，數學歷史中每一次進步都使已有的定理更簡潔。正如偉大的希而伯特曾說過：“數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯繫著”。
龐加萊指出：“在解中，在證明中，給我們以美感的東西是什麼呢？是各部分的和諧，是它們的對稱，是它們的巧妙、平衡”。
和諧美
美是和諧的．和諧性也是數學美的特徵之一．和諧即雅致、嚴謹或形式結構的無矛盾性．
沒有那門學科能比數學更為清晰的闡明自然界的和諧性。
—— Carus,Paul
數論大師賽爾伯格曾經說，他喜歡數學的一個動機是以下的公式： ，這個公式實在美極了，奇數1、3、5、…這樣的組合可以給出 ，對於一個數學家來說，此公式正如一幅美麗圖畫或風景。
歐拉公式： ，曾獲得“最美的數學定理”稱號。歐拉建立了在他那個時代，數學中最重要的幾個常數之間的絕妙的有趣的聯繫，包容得如此協調、有序。與歐拉公式有關的棣美弗－歐拉公式是 ――（1）。這個公式把人們以為沒有什麼共同性的兩大類函式――三角函式與指數函式緊密地結合起來了。對他們的結合，人們始則驚詫，繼而讚嘆――確是“天作之合”。
和諧的美，在數學中多得不可勝數。如著名的黃金分割比 ，即0.61803398…。
在正五邊形中，邊長與對角線長的比是黃金分割比。建築物的視窗，寬與高度的比一般為 ；人們的膝蓋骨是大腿與小腿的黃金分割點，人的肘關節是手臂的黃金分割點，肚臍是人身高的黃金分割點；當氣溫為23攝氏度時，人感到最舒服，此時23:37（體溫）約為0.618；名畫的主題，大都畫在畫面的0.618處，弦樂器的聲碼放在琴弦的0.618處，會使聲音更甜美。建築設計的精巧、人體科學的奧秘、美術作品的高雅風格，音樂作品的優美節奏，交融於數的對稱美與和諧美之中。
黃金分割比在許多藝術作品中、在建築設計中都有廣泛的套用。達·文西稱黃金分割比 為“神聖比例”．他認為“美感完全建立在各部分之間神聖的比例關係上”。與 有關的問題還有許多， “黃金分割”、“神聖比例”的美稱，她受之無愧。
奇異美
全世界有很大影響的兩份雜誌曾聯合邀請全世界的數學家們評選“近50年的最佳數學問題”，其中有一道相當簡單的問題：有哪些分數 ，不合理地把b約去得到 ，結果卻是對的？
經過一種簡單計算，可以找到四個分數： 。這個問題涉及到“運算謬誤，結果正確”的歪打正著，在給人驚喜之餘，不也展現一種奇異美嗎。
還有一些“歪打正著等式”，比如
人造衛星、行星、彗星等由於運動的速度的不同，它們的軌道可能是橢圓、雙曲線或拋物線，這幾種曲線的定義如下：到定點距離與它到定直線的距離之比是常數e的點的軌跡，
當e<1時，形成的是橢圓．當e>1時，形成的是雙曲線．當e=1時，形成的是拋物線．
常數e由0.999變為1、變為0.001，相差很小，形成的卻是形狀、性質完全不同的曲線。而這幾種曲線又完全可看作不同的平面截圓錐面所得到的截線。
橢圓與正弦曲線會有什麼聯繫嗎？做一個實驗，把厚紙卷幾次，做成一個圓筒。斜割這一圓筒成兩部分。如果不拆開圓筒，那么截面將是橢圓，如果拆開圓筒，切口形成的即是正弦曲線。這其中的玄妙是不是很奇異、很美。
對稱美
在古代“對稱”一詞的含義是“和諧”、“美觀”。畢達哥拉斯學派認為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對稱圓形――圓心是它的對稱中心，圓也是軸對稱圖形――任何一條直徑都是它的對稱軸。
梯形的面積公式：S=（上底 +下底﹚h÷2 ，
等差數列的前n項和公式： ，
其中a是上底邊長，b是下底邊長，其中a­；1是首項，an是第n項，這兩個等式中，a與a1是對稱的，b與an是對稱的。h與n是對稱的。
對稱美的形式很多，對稱的這種美也不只是數學家獨自欣賞的，人們對於對稱美的追求是自然的、樸素的。如我們喜愛的對數螺線、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、楊振寧也正是由對稱的研究而發現了宇稱不守恆定律。從中我們體會到了對稱的美與成功。
創新美
歐幾里得幾何曾經是完美的經典幾何學，其中的公理5：“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”和結論“三角形內角和等於二直角”，這些似乎是天經地義的絕對真理。但羅馬切夫斯基卻採用了不同公理5的結論：“過直線外一點至少有兩條直線與已知直線平行”，在這種幾何里，“三角形內角和小於二直角”，從而創造了羅氏幾何。黎曼幾何學沒有平行線。這些與傳統觀念相違背的理論，並不是虛無飄渺的，當我們進行遙遠的天文測量時，用羅氏幾何學是很方便的，原子物理、狹義相對論中也有套用；而愛因斯坦建立的廣義相對論中，較多地利用了黎曼幾何這個工具，才克服了所遇到的數學計算上的困難。每一個理論都在需要不斷創新，每一個奇思妙想、每一個似乎不合理又不可思議的念頭都可能開闢新的天地。這種開闊了我們的視野、開闊了我們心胸、給我們完全不同感受的難到不是切入肌膚的美嗎？如果我們再大膽構想一下，是不是還存在一個能包容歐氏幾何和非歐幾何的更廣泛的幾何學呢？事實上，通過高斯曲率可以將三種幾何統一在曲面的內在幾何學中，還可以通過克萊因幾何學與變換群的觀點將三種幾何統一起來。在不斷創新的過程中，數學得到了發展。
統一美
英國數學家哈密頓苦苦思索了15年，沒能獲得成功。後來，他“被迫作出妥協”，犧牲了複數集中的一條性質，終於發現了四元數，即形為a1+a2i+a3j+a4k （a1 ，a2 ，a3 ，a4 為實數）的數，其中i、j、k如同複數中的虛數單位。若a3 =a4 =0，則四元數a1+a2i+a3j+a4k 是一般的複數。四元數的研究推動了線性代數的研究，並在此基礎上形成了線性代數理論。物理學家麥克斯韋利用四元數理論建立了電磁理論。
數學的發展是逐步統一的過程。統一的目的也正如希而伯特所說的：“追求更有力的工具和更簡單的方法”。
愛因斯坦一生的夢想就是追求宇宙統一的理論。他用簡潔的表達式E=mc2揭示了自然界中質能關係，這不能不說是一件統一的藝術品。但他還是沒有完成統一的夢想。人類在不斷探尋著紛繁複雜的世界，又在不斷地用統一的觀點認識世界，宇宙沒有盡頭，統一美也需要永遠的追求。
類比美
解析幾何中的代數語言具有意想不到的作用，因為它不需要從幾何考慮也行。考慮方程 我們知道，它是一個圓。圓的完美形狀，對稱性，無終點等都存在在哪裡呢？在方程之中！例如， 與 對稱，等等。代數取代了幾何，思想取代了眼睛！在這個代數方程的性質中，我們能夠找出幾何中圓的所有性質。這個事實使得數學家們通過幾何圖形的代數表示，能夠探索出更深層次的概念。那就是四維幾何。我們為什麼不能考慮下述方程呢？ 以及形如 的方程呢？這是一個偉大的進步。僅僅靠類比，就從三維空間進入高維空間，從有形進入無形，從現實世界走向虛擬世界。這是何等奇妙的事情啊！用宋代著名哲學家程顥的詩句可以準確地描述這一過程：道通天地有形外，思入風雲變態中。
抽象美和自由美
數學的第一特徵在於她具有抽象思維的能力，在數學中所處理的是抽象的量，是脫離了具體事物內容的用符號表示的量。它可以成為任何一個具體數的代數，但它又不等於任何具體數。比如“N”表示自然數，它不是N個崗位，N只雞或N張照片……也不是哪一個具體的數，分不清是0 ？是1？或者說100？……“知道”中蘊含著“不知道”，“具體”中充滿了“不具體”，它就是這樣一個抽象的數！
達·文西是15至16世紀的一位藝術大師和科學巨匠。他用一句話概括了他的《藝術專論》的思想：“欣賞我的作品的人，沒有一個不是數學家”
歷史上不少著名人物都迷戀音樂，大數學家克蘭納克就是一例。一位數學王子何以如此迷戀音樂？原因也許是多方面的，依我看，最重要的一點就是數學和音樂均為一種抽象語言，它們都充滿了抽象美、自由美。而且，數學和音樂還是兩個人造的金碧輝煌的世界，前者僅用十個阿拉伯數字和若干符號便造出了一個無限的、絕對真的世界，後者僅用五條線和一些蝌蚪狀的音符就造出了一個無限的、絕對美的世界。如果說，音樂是人類感情活動最優美的表現，那么數學便是人類理性活動最驚人的產品。
辯證美
熟悉數學的人都體會到在數學中充滿著辯證法。如果說各門科學都包含著豐富的辯證思想，那么，數學則有自己特殊的表現方式，即用數學的符號語言以及簡明的數學公式能明確地表達出各種辯證的關係和轉化。
例如：初等數學中：點與坐標的對應；曲線與方程之間的關係；機率論和數理統計所揭示出的事物的必然性與偶然性的內在聯繫等。以及高三數學裡所涉及的：極限概念，特別是現代的極限語言，很好地體現了有限與無限，近似和精確的辯證關係；牛頓——萊布尼茨公式描述了微分和積分兩種運算方式之間的聯繫和相互轉化等等。
這類事例在數學中比比皆是。當然，要真正掌握好“數學美”，僅僅知道一些數學知識還是遠遠不夠的，還必須善於發現各種數學結構、數學運算之間的關係，建立和運用它們之間的聯繫和轉化。唯其如此，才能發揮出蘊藏在數學中的辯證思維的力量。數學中許多計算方法之靈巧，證明方法之美妙，究其思路，往往就是綜合利用了各種關係並對他們進行過適宜的轉化而成的。
掌握了“兩優擇其重，兩劣擇其輕”這一辯證的比較思想，我們就掌握了解這類題目的鑰匙。其實，全部數學無處不在貫徹“兩優擇其重，兩劣擇其輕”這一原則。數學無處不體現著辯證法，數學家們無時不在用辯證的眼光看問題。陳省身教授80年代在北大講學時說：“人們常說，三角形內角和等於180°，但是，這是不對的！”……“說三角形內角和為 180°不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對。應該說三角形外角和是360°！把眼光盯住內角，只能看到：三角形內角和是180°；四邊形內角和是360°；五邊形內角和是 540°……n邊形內角和是 （n-2）*180°，雖然找到了一個計算內角和的公式，但公式里包含邊數n。如果看外角呢？三角形外角和是360°，四邊形外角和是 360°，五邊形外角和是360°，……，n邊形外角和是 360°。
勾股弦三邊比例的協調
