黃金分割法:數學·黃金分割法,發現歷史,攝影·黃金分割法,原理1,原理2,三分法則

黃金分割法也稱為中外比，指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，取其前三位數字的近似值是0.618，所以也稱為0.618法。

基本介紹

中文名：黃金分割法
外文名：Golden ratio
領域：數學
別名：中外比
歷史：公元前6世紀
更正錯誤：班明峰

數學·黃金分割法,發現歷史,攝影·黃金分割法,原理1,原理2,三分法則,天然畫框,交叉線,建築·黃金分割法,

數學·黃金分割法

其比值是一個十分有趣的數字，我們以0.618來近似，通過簡單的計算就可以發現：

1/0.618=1.618 500/309=1.618

(1-0.618)/0.618=0.618 (500-309)/309=0.618

這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建築等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用。

讓我們首先從一個數列開始，它的前面幾個數是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個數列的名字叫做"菲波那契數列"，這些數被稱為"菲波那契數"。特點是即除前兩個數（數值為1）之外，每個數都是它前面兩個數之和。

菲波那契數列與黃金分割有什麼關係呢？經研究發現，相鄰兩個菲波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比的。即f(n-1)/f(n)→0.618…。由於菲波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但是當我們繼續計算出後面更大的菲波那契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非常接近黃金分割比的。

一個很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，我們的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什麼？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關係都是符合黃金分割比的。正五邊形對角線連滿後出現的所有三角形，都是黃金分割三角形。

由於五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數值為2Sin18 。

黃金分割點約等於0．618：1

是指分一線段為兩部分，使得原來線段的長跟較長的那部分的比為黃金分割的點。線段上有兩個這樣的點。

利用線段上的兩黃金分割點，可作出正五角星，正五邊形。

2000多年前,古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割。所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對於全部之比，等於另一部分對於該部分之比。而計算黃金分割最簡單的方法，是計算斐波契數列1，1，2，3，5，8，13，21，...後二數之比2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,...近似值的。

黃金分割在文藝復興前後，經過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為"金法"，17世紀歐洲的一位數學家，甚至稱它為"各種算法中最可寶貴的算法"。這種算法在印度稱之為"三率法"或"三數法則"，也就是我們現在常說的比例方法。

其實有關"黃金分割"，我國也有記載。雖然沒有古希臘的早，但它是我國古代數學家獨立創造的，後來傳入了印度。經考證。歐洲的比例算法是源於我國而經過印度由阿拉伯傳入歐洲的，而不是直接從古希臘傳入的。

因為它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的長寬設計中，採用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的套用也非常廣泛，建築物中某些線段的比就科學採用了黃金分割，舞台上的報幕員並不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一側，以站在舞台長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有採用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規律排列著的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數找到合理的西方和合適的工藝條件。正因為它在建築、文藝、工農業生產和科學實驗中有著廣泛而重要的套用，所以人們才珍貴地稱它為"黃金分割"。我國數學家華羅庚曾致力於推廣優選法中的“0.618法”，把黃金分割套用於生活實際及科學套用中。

黃金分割〔Golden Section〕是一種數學上的比例關係。黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。套用時一般取0.618 ，就像圓周率在套用時取3.14一樣。

發現歷史

由於公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。

公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。

公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。

中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數家帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家克卜勒稱黃金分割為神聖分割。

到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類對它的實際套用也很廣泛。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基弗於1953年首先提出的，70年代在中國推廣。

黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。

確切值為(√5-1)/2 ，即黃金分割數。(√5-1)=(√5-√1)=(√4)/2=1

黃金分割數是無理數，前面的2000位為: 　0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 : 50 　2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 : 100 　8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 : 150 　7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 : 200 　0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 : 250 　1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 : 300 　8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 : 350 　2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 : 400 　3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 : 450 　1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 : 500 　1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 : 550 　7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 : 600 　8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 : 650 　8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 : 700 　7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 : 750 　1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 : 800 　3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 : 850 　9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 : 900 　7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 : 950 　9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 : 1000 　1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089 : 1050 　5022953094 2312482355 2122124154 4400647034 0565734797 : 1100 　6639723949 4994658457 8873039623 0903750339 9385621024 : 1150 　2369025138 6804145779 9569812244 5747178034 1731264532 : 1200 　2041639723 2134044449 4873023154 1767689375 2103068737 : 1250 　8803441700 9395440962 7955898678 7232095124 2689355730 : 1300 　9704509595 6844017555 1988192180 2064052905 5189349475 : 1350 　9260073485 2282101088 1946445442 2231889131 9294689622 : 1400 　0023014437 7026992300 7803085261 1807545192 8877050210 : 1450 　9684249362 7135925187 6077788466 5836150238 9134933331 : 1500 　2231053392 3213624319 2637289106 7050339928 2265263556 : 1550 　2090297986 4247275977 2565508615 4875435748 2647181414 : 1600 　5127000602 3890162077 7322449943 5308899909 5016803281 : 1650 　1219432048 1964387675 8633147985 7191139781 5397807476 : 1700 　1507722117 5082694586 3932045652 0989698555 6781410696 : 1750 　8372884058 7461033781 0544439094 3683583581 3811311689 : 1800 　9385557697 5484149144 5341509129 5407005019 4775486163 : 1850 　0754226417 2939468036 7319805861 8339183285 9913039607 : 1900 　2014455950 4497792120 7612478564 5916160837 0594987860 : 1950 　0697018940 9886400764 4361709334 1727091914 3365013715 : 2000

攝影·黃金分割法

一幅優秀的攝影作品，不僅要有深刻的主題思想和內容，同時還應具備與內容相一致的優美形式和協調的構圖。初學攝影，在取景時了解和掌握黃金分割法。對於提高作品美學價值很有幫助。

黃金分割法，就是把一條直線段分成兩部分，其中一部分對全部的比等於其餘一部分對這一部分的比，常用2：3，3：5，5：8等近似值的比例關係迸引美術設計和攝影構圖，這種比例也稱黃金律。在攝影構圖中，常使用的概略方法，就是在畫面上橫、豎各畫兩條與邊平行、等分的直線，將畫面分成9個相等的方塊，稱九宮圖。直線和橫線相交的4個點，稱黃金分割點。

根據經驗，將主體景物安排在黃金分割點附近，能更好地發揮主體景物在圖面上的組織作用，有利於周圍景物的協調和聯繫，容易引起美感，產生較好的視覺效果，使主體景物更加鮮明、突出。

另外，人們看圖片和書刊有個習慣，就是由左向右移動，視線經過運動，往往視點落於右側，所以在構圖時把主要景物、醒目的形象安置在右邊，更能收到良好的效果。

初學攝影取景，可選選用“黃金分割法”的練習構圖，經過多次實踐，有了自己的經驗和體會以後，就可根據實際情況自己進行創作了。如果都千篇一律，生搬硬套這一種形式，也不可取，時間久了反而會束縛自己的創作思想，使拍出的照片四平八穩，缺乏變化，貧乏無味，就談不上有什麼藝術性。

用黃金分割法確定主體的位置，並沒有完成構圖的整個過程，還應注意安排必要的空間，考慮主體與陪體之間的呼應，充分表達主題的思想內容。同時，還要考慮影調，光線處理，色彩的表現等等。

為了提高基本功，還有很重要的一點，就是要認真學習美學知識，加強美學修養，並通過拍攝實踐，不斷總結，積累經驗，多拍出一些有較高藝術水平的照片來。

原理1

如圖A：“黃金分割”公式可以從一個正方形來推導，將正方形底邊分成二等分，取中點X，以X為圓心，線段XY為半徑作圓，其與底邊直線的交點為Z點，這樣將正方形延伸為一個比率為5︰8的矩形，（Y’點即為“黃金分割點”）， A︰C = B︰A = 5︰8。幸運的是，35MM膠片幅面的比率正好非常接近這種5︰8的比率（24︰36 = 5︰7.5）

原理2

如圖B：通過上述推導我們得到了一個被認為很完美的矩形，連線該矩形左上角和右下角作對角線，然後從右上角向Y’點（黃金分割點，見圖A）作一線段交於對角線，這樣就把矩形分成了三個不同的部分。現在，在理論上已經完成了黃金分割，下一步就可以將你所要拍攝的【拔鐦籩擄湊照餿?鑾?蛉グ才牛?部梢越?疽饌擠??】什麼意思？莫名其妙80度或旋轉90度來進行對照。

三分法則

“三分法則”實際上僅僅是“黃金分割”的簡化版，其基本目的就是避免對稱式構圖，對稱式構圖通常把被攝物置於畫面中央，這往往令人生厭。在圖C1和C2中，可以看到與“黃金分割”相關的有四個點，用“十”字線標示。用“三分法則”來避免對稱在使用中有兩種基本方法，第一種：我們可以把畫面劃分成分別占1/3和2/3面積的兩個區域。第二種：直接參照圖示的四個“黃金分割”點。例如，構想我們看到了非常引人入勝的風景，但缺少具有優美幾何結構的被攝主體，這樣拍出來的照片只會是一個空洞泛味的場景，那該如何處理呢？試著尋找一個與這種單調的環境形成鮮明對比的物體，並將這一被攝物置於如圖C2中的其中一個“十”字點位置，這樣照片就有了一個明顯的錨點，並將觀眾的目光由此出發引導至整個風景。

天然畫框

有時在我們看到的場景中有一個引人注目的被攝主體，但往往由於主體周圍雜亂的環境分散了觀眾的注意力而削弱了主體的吸引力，使照片最終的效果令人很失望。試試尋找一個能夠排除雜亂環境干擾的天然畫框使觀眾注意力集中於被攝主體，如圖D利用主體周圍的樹枝形成一個天然畫框從而使中間的山岩更為突出。

交叉線

交叉線/對角線實際上又是“黃金分割”的另一形式，其基本思想是提供了一條指引你視線的引導線，較為理想的是某兩個邊角之間的連線。傳統的方法認為左上角是最好的起始點，因為大多數人習慣從這裡開始瀏覽一幅圖畫（譯者註：這一觀點其實很多人看法不同）。但這種對角線如果是單一的直線往往會很平泛而令人厭煩，所以總要在圖中有某種點綴（如圖F）。

建築·黃金分割法

帕特農神廟的外觀以及其外觀和其他地方的元素被一些人稱為金色矩形。其他學者否認希臘人與黃金比例有任何審美聯繫。例如，Midhat J.Gazalé說：“直到歐幾里得才能研究黃金比例的數學特性，而在元素（公元前308年），希臘數學家只是認為這個數字是一個有趣的非理性數字，與中等和極端的比例，正常五邊形和十進制的發生被正確觀察，以及十二面體（十二面體是十六面體是正五面體的正多面體）確實是典型的，偉大的歐幾里德與幾代神秘主義者相反隨後，將清醒地對待這個數字，除了事實上的屬性之外，還沒有附加它。“Keith Devlin說：”當然，反覆說，雅典的帕特農神廟是以黃金比例為基礎的，事實上，關於希臘人和黃金比例的整個故事似乎沒有根據，我們知道的一件事是，歐幾里德在他著名的教科書“元素”在公元前300年左右寫道，展示了如何計算其價值。“維特魯威這樣的訊息來源專門討論了可以表達整數的比例，即與非理性比例相稱。

根據Boussora和Mazouz的說法，早期對凱魯萬大清真寺研究的幾何分析揭示了整個設計中黃金比例的一致套用。他們發現計畫的整體比例和禱告空間，法院和尖塔的大小的比例接近黃金比例。作者指出，發現與黃金比例接近的比率的地區不是原始建設的一部分，並且將這些要素理解為重建。

瑞士建築師勒·柯布西耶（Le Corbusier）以他對現代國際風格的貢獻而著稱，將設計理念集中在和諧與比例制度上。勒柯布西耶對宇宙數學秩序的信念與黃金比例和斐波那契系列密切相關，他所描述的是“節奏明顯，彼此間關係清晰，而這些節奏是人類的活動，他們以有機的必然性來回報人，同樣精細的必然性，導致了孩子，老人，野蠻人以及學習者從黃金部門追蹤的事情。

勒柯布西耶在建模比例尺度上明確地使用了他的模組體系中的黃金比例。他認為這個系統是維特魯威，維多利亞·達·文西的“維特魯威人”，萊昂·巴蒂斯塔·阿爾貝蒂（Leon Battista Alberti）的作品以及其他使用人體比例來改善建築外觀和功能的長期傳統的延續。除了黃金比例外，勒柯布西耶還以人體測量系統為基礎，斐波納契數字和雙重單位。他以人與人之間的黃金比例提出了一個極端的建議：他將模型人體的身高在肚臍上以黃金比例分為兩部分，然後以黃金比例在膝蓋和喉嚨細分;他在Modulor系統中使用了這些黃金比例。勒柯布西耶的1927年別墅斯坦因（Garin Stein）在Garches中展示了Modulor系統的套用。別墅的矩形地面圖，高程和內部結構緊密接近金色矩形。

另一位瑞士建築師馬里奧·博塔（Mario Botta）把他的許多設計基於幾何圖形。他在瑞士設計的幾個私人房屋由正方形和圓形，立方體和圓柱體組成。在他在Origlio設計的房子裡，黃金比例是房屋中央部分和側面部分之間的比例。

在最近的一本書中，作者傑森·艾利奧特（Jason Elliot）推測，Naqsh-e Jahan廣場和鄰近的Lotfollah清真寺的設計師使用了黃金比例。

從公元前五世紀到公元二世紀的15座寺廟，18座紀念碑，8座石棺和58座墓碑的測量結果顯示，公元前五世紀五世紀希臘建築學中黃金比例完全不存在，在接下來的六個世紀幾乎不存在。

黃金分割法