基本介紹
- 中文名：數學證明
- 別稱：邏輯證明
- 套用學科：數學
- 類別：非形式化和形式化
概念,要求,證明的對象,標準,
概念
數學上的證明包括兩個不同的概念。首先是非形式化的證明：一種用來說服聽眾或讀者接受某個定理或論斷的嚴密的自然語言表達式。由於這種證明依賴於證明者所使用的語言，因此證明的嚴密性將取決於語言本身以及聽眾或讀者對語言的理解。非形式化證明出現在大多數的套用場合中，例如科普講座、口頭辯論、初等教育或高等教育的某些部分。有時候非形式化的證明被稱作“正式的”，因為其中的論證嚴謹，理據充足，但數理邏輯學家使用“正式的”證明時指的是另一種完全不同的證明——形式化證明。
在數理邏輯中，形式化證明並不是以自然語言書寫，而是以形式化的語言書寫：這種語言是由一個固定的字母表中的字元所構成的字元串組成的。而證明則是以形式化語言表達的有限長度的序列。這種定義使得形式化證明不具有任何邏輯上的模糊之處。研究證明的形式化和公理化的理論稱為證明論。儘管理論上來說，每個非形式化的證明都可以轉為形式化證明，但實際中很少需要用到。對形式化證明的研究主要套用在廣泛意義上上可證明性的性質，或說明某些陳述的不可證明性等等。
要求
證明的對象是命題，命題的本質是斷定，斷定的性質是明確。明確的解釋就是沒有歧義。許許多多的數學證明，發生了模糊概念的結果，這個就不能算是完成證明。所以，數學證明要求數學概念精確、專一、系統、穩定，可以檢驗，可以區分。推理符合形式邏輯要求。在其他學科，例如物理學中，科學事實很快可以上升到科學定律。但是，數學證明不承認科學事實（所以歸納法無效），必須把事實上的科學概念，經過演繹證明以後，才能算數學定理。人們常說：眼見為實，耳聽為虛；數學家說：眼見為虛，耳聽為虛，所證為實。只有通過嚴格的邏輯證明才能確認結論的真實性是數學與其他學科最根本的差異。
證明的對象
證明的對象是指單獨概念和普遍概念，單獨概念是指獨一無二的概念，例如“上海”。“偶素數”只有一個“2”，屬於單獨概念。
普遍概念對一個以上成員，例如“偶數”，普遍概念每一個個體全部必然地具有這個概念的基本屬性，所以，證明的對象產生的定理主要對普遍概念而言。例如， “工人”是一個普遍概念，無論“中國工人”“德國工人”，“石油工人”“鋼鐵工人”全部具有“工人”的基本屬性。
還要說明的是“集合概念”，是指一個集合體，集合體中的個體，不是必然具有集合體的基本屬性，所以對集合概念的證明必須使用完全歸納法，對每一個個體逐一證明。 嚴格說，對集合概念不叫“證明”，只是歸納。（參見任何一本《邏輯學》）。
標準
數學證明必須嚴格按照統一標準
1. 證明對象必須是普遍概念，不得對集合概念進行所謂“證明”。
2. 證明方法必須是正確的演繹證明（數學歸納法必須在可以統一這個普遍概念的全部元素對象的公式下，沒有統一公式的數學歸納法無效）。
3. 論據必須是正確的。
4. 不得使用模糊概念，就是說概念必須是唯一的解釋，不能有歧義（例如所謂“殆素數”，“充分大”等嚴禁使用）。
5. 所有結論必須是可以操作的，就是說，證明得出結論以後，通過這個結論計算，人們可以知道結果，而不會出現互相矛盾的結果。
6. 結論必須是全稱的，特稱結論一律無效。
