數學哲學是指研究數學理論、概念及數學發展中哲學問題的學科，是對數學的哲學概括和總結。是哲學與數學相互聯繫和滲透的交叉學科。它是對數學的哲學總結。其萌芽可以追溯到古希臘的畢達哥拉斯學派。
基本介紹
- 中文名：數學哲學
- 外文名：philosophy of mathematics
- 研究內容：重研究數學的對象、性質等
- 建立時間：19世紀中葉
- 代表人物：羅素、布勞爾、希爾伯特等
- 學科：自然辯證法
簡介,研究範圍,數學流派,邏輯主義,直覺主義,形式主義,
簡介
古希臘的畢達哥拉斯學派可為數學哲學的鼻祖。畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580～前500年）認為，萬物的本質不是物質，而是抽象的數。17世紀初，法國的哲學家、數學家笛卡爾（Rent Descartes，1596~1 650年）創立了解析幾何，認為如果從不可懷疑和確定的原理出發，用類似數學的方法進行論證，則可把自然界的一切顯著特徵演繹出來。英國人牛頓（Isaac Newton，1642～1727年）和德國人萊布尼茲（1646~1716年）創立了微積分，使數學發展成為研究無限的科學。馬克思和恩格斯先後在《數學手稿》和《自然辯證法》中運用唯物辯證法研究數學問題，對數學哲學的許多問題作出重大發展。
從畢達哥拉斯到康德的眾多思想家都有許多數學哲學的重要思想，但作為專門學科直到19世紀中葉以後才逐漸建立起來。著重研究數學的對象、性質、特點、地位與作用；數學新分支、新課題提出的重要概念的哲學意義；著名數學家和數學流派的數學和哲學思想；數學方法和數學基礎等問題。現代數學哲學的研究內容包括：數學基礎的研究，形成羅素的邏輯主義、布勞爾的直覺主義和希爾伯特的形式主義等流派；數學悖論的研究，探討悖論的排除及徹底解決的可能性；數學本體論的研究，探討數學的研究對象是否為客觀的真實的存在；數學真理性的研究等。
研究範圍
數學哲學的研究內容主要有：
①數學與現實世界，數學理論與實踐發展的關係問題；
②數學概念及數學運算中的辯證關係，數學概念發展的內在邏輯；
③數學範疇的辯證統一關係，’如常量與變數、有限與無限、直線與曲線、連續與間斷等相互聯繫、相互轉化的關係。
數學流派
由於哲學立場的不同，在數學基礎的現代研究中逐漸形成了邏輯主義、直覺主義等學派。作為其數學哲學思想的體現，這些學派又都提出了數學基礎研究的具體規劃。
邏輯主義
邏輯學派的主要代表是羅素和弗雷格，其基本思想在羅素1903年發表的《數學原理》（The Principles of Mathematics）中有大概輪廓，羅素後來與懷特黑德（A.Whitehead，1861～1947）合著的三大卷《數學原理》（Principia Mathematicas，1910～1913）是邏輯學派的權威性論述，按照邏輯主義的觀點：數學乃邏輯的一個分支，邏輯不僅是數學的工具，邏輯還成為數學的祖師，所有數學的概念要用邏輯概念的術語來表達，所有數學定理要作為邏輯的定理被推演。至於邏輯的展開，則是依靠公理化的方法進行，即從一些不定義的邏輯概念和不加證明的邏輯公理出發，通過符號演算的形式來建立整個邏輯體系。為了避免悖論，羅素創造了一套“類型論”，類型論將對象區分為不同的層次，處於最低層的是0類型的對象，屬0類型的元素構成I型不同的對象，I類型的元素構成Ⅱ類型的元素，如此等等，在套用類型的理論中，必須始終貫徹如下的原則：一定類的所有元素必須屬於同一類型，類相對於其自身成員是高一級類型的對象，這樣集合本身就不能是它自己的成員，類型論避免了集合論悖論的產生。在《數學原理》中還有各種等級內的各種等級，導致所謂“盤根錯節”的“類理論”，為了得到建立分析所需要的非斷言定義，必須引進“可化歸性公理”，該公理的非原始性和隨意性引起嚴重的批評，可化歸性公理被指出是非邏輯公理而不符合將數學化歸為邏輯的初衷，按類型論建立數學開展起來極為複雜。事實上，羅素和懷特黑德的體系一直是未完成的，在很多細節上是不清楚的。
直覺主義
直覺主義學派的主要代表人物是荷蘭數學家布勞爾（L.E.Brouwer，1881—1966），布勞爾1907年在他的博士論文《論數學基礎》中搭建了直覺主義數學的框架，1912年以後又大大發展了這方面的理論，直覺主義學派的基本思想是數學獨立於邏輯，認為數學理論的真偽，只能用人的直覺去判斷，基本的直觀是按時間順序出現的感覺。例如，由於無限反覆，頭腦中形成了一個接一個的自然數概念，一個接一個，無限下去。這是可以承認的（哲學上稱為潛無限），因為人們認為時間不是有限的，可以一直持續下去，但永遠達不到無限（即實無限）。所謂“全體實數”是不可接受的概念，“一切集合的集合”之類更是不能用直觀解釋的，因而不承認集合的合理性，“悖論”自然也就不會產生了。
形式主義
形式主義學派的代表人物是希爾伯特，希爾伯特於1899年寫了一本《幾何基礎》，在其中，曾把歐幾里得的素材公理到當代的形式公理的數學方法深刻化。在集合論悖論出現之後，希爾伯特沒有氣餒，而是奮起保衛“無窮”，支持康托爾反對克羅內克，給純粹性證明打氣。為了解決集合論悸論，希爾伯特指出，只要證明了數學理論的無矛盾性，那么悖論自然就永遠被排除了。在1922年漢堡一次會議上，希爾伯特提出了數學基礎研究規劃，這就是首先將數學理論組織成形式系統。然後，再用有限的方法證明這一系統的無矛盾性。這裡所說的形式系統就是形式公理化，所謂的一個數學理論的形式公理化，就是要純化掉數學對象的一切與形式無關的內容和解釋，使數學能從一組公理出發，構成一個純形式的演繹系統。在這個系統中那些作為出發點的命題就是公理或基本假設，而其餘一切命題或定理都能遵循某些假定形式規則與符號邏輯法則，逐個地推演出來。
形式主義者認為：無論是數學的公理系統或邏輯的公理系統，其中只要能夠證明該公理系統是相容的、獨立的和完備的，該公理系統便獲得承認，該公理系統便代表一種真理，悖論是不相容的一種表現。
