基本介紹
- 中文名：數形結合法
- 領域：數學
基本概念,實際套用,
基本概念
數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。
中學數學研究的對象可分為兩大部分，一部分是數，一部分是形，但數與形是有聯繫的，這個聯繫稱之為數形結合，或形數結合。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非。“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關係。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使複雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到最佳化解題途徑的目的。
作為一種數學思想方法，數形結合的套用大致又可分為兩種情形：或者藉助於數的精確性來闡明形的某些屬性，或者藉助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關係，即數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二種情形是“以形助數”。“以數解形”就是有些圖形太過於簡單，直接觀察卻看不出什麼規律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等等。
實際套用
數形結合的思想方法是數學教學內容的主線之一，套用數形結合的思想，可以解決以下問題：
一、解決集合問題：在集合運算中常常藉助於數軸、Venn圖來處理集合的交、並、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。
二、解決函式問題：藉助於圖象研究函式的性質是一種常用的方法。函式圖象的幾何特徵與數量特徵緊密結合，體現了數形結合的特徵與方法。
三、解決方程與不等式的問題：處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函式圖象的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發，聯繫相關函式，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。
四、解決三角函式問題：有關三角函式單調區間的確定或比較三角函式值的大小等問題，一般藉助於單位圓或三角函式圖象來處理，數形結合思想是處理三角函式問題的重要方法。
五、解決線性規劃問題：線性規劃問題是在約束條件下求目標函式的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現了數形結合思想的套用。
六、解決數列問題：數列是一種特殊的函式，數列的通項公式以及前n項和公式可以看作關於正整數n的函式。用數形結合的思想研究數列問題是藉助函式的圖象進行直觀分析，從而把數列的有關問題轉化為函式的有關問題來解決。
七、解決解析幾何問題：解析幾何的基本思想就是數形結合，在解題中善於將數形結合的數學思想運用於對點、線、曲線的性質及其相互關係的研究中。
八、解決立體幾何問題：立體幾何中用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質及其相互關係進行研究，可將抽象的幾何問題轉化純粹的代數運算。
