數學思想方法

《數學思想方法》是2004年中央廣播電視大學出版社出版的圖書，作者是顧泠沅。該書主要介紹數學思想方法的兩個源頭、數學思想方法和幾次重要轉折、數學的真理性以及現代數學的發展趨勢，從時間維度和巨觀上用粗線條勾畫出數學思想方法發展的概貌。

基本介紹

• 書名：數學思想方法
• 作者：顧泠沅
• ISBN：9787304027421
• 出版社：中央廣播電視大學出版社
• 出版時間：2004-6

內容簡介

《數學思想方法》共分十三章，分為三個部分。第一章至第四章為上篇，主要介紹數學思想方法的兩個源頭、數學思想方法和幾次重要轉折、數學的真理性以及現代數學的發展趨勢，從時間維度和巨觀上用粗線條勾畫出數學思想方法發展的概貌。其中第三章“數學的真理性”對於了解現代數學觀、確立現代數學教學觀頗有幫助。但是，考慮到教學課時較堅以及某些地區國小教師的專業水平有限，將此為列為選學內容。第五章至第十章為中篇，該篇分別對數學教學中常用的抽象與概括、猜想與反駁、演繹與化歸、計算與算法、套用與模型、分類、數形結合、特殊化學數學思想方法，為在教學中加以套用打下紮實的基礎。第十一至第十三章為下篇，該篇主要闡述了數學思想方法與素質教育之關係、數學思想方法教學的主要階段及其教學原則，以及三個數學思想方法教學案例。希望這部分內容，能對在國小數學教學中加強數學思想方法教學起到一定的引領和促進作用。

學習指導部分設定了學習目標、學習重點、難點解析、回顧與思考、閱讀資料等欄目，可幫助學員更好地理解和掌握課程內容。閱讀資料所選材料是對相關教材內容的補充和拓寬，供學有餘力的學員自學。

作品目錄

上篇
第一章 數學思想方法的兩個源頭
第一節 古希臘的《幾何原本》
第二節 中國的《九章算術》
第二章 數學思想方法的幾次突破
第一節 從算術到代數
第二節 從常量數學到變數數學
第三節 從確定數學到隨機數學
第三章 數學的真理性
第一節 數學的證明和科學的證明
第二節 數學的公理化
第三節 第三次數學危機
第四節 哥德爾不完備性定理
第四章 現代數學的發展趨勢
第一節 數學的統一性
第二節 數學套用日益廣泛
第三節 計算機引發的數學革命
中篇
第五章 抽象與概括
第一節 抽象方法
第二節 概括方法
第六章 猜想與反駁
第一節 歸納猜想
第二節 類比猜想
第三節 反例反駁
第四節 猜想能力的培養
第七章 演繹與化歸
第一節 公理方法
第二節 化歸方法
第八章 計算與算法
第一節 計算
第二節 算法
第九章 套用與建模
第一節 數學模型方法
第二節 數學模型的建立
第三節 數學模型方法的教學
第四節 數學模型方法的現代套用
第十章 其他方法
第一節 分類方法
第二節 數形結合方法
第三節 特殊化方法
下篇
第十一章 數學思想方法與素質教育
第十二章 數學思想方法教學
第十三章 數學思想方法教學案例
學習指導
參考文獻

基礎概念

函式方程

函式思想，是指用函式的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關係入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然後通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函式與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。

笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪裡有等式，哪裡就有方程；哪裡有公式，哪裡就有方程；求值問題是通過解方程來實現的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關。列方程、解方程和研究方程的特性，都是套用方程思想時需要重點考慮的。

函式描述了自然界中數量之間的關係，函式思想通過提出問題的數學特徵，建立函式關係型的數學模型，從而進行研究。它體現了“聯繫和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函式思想是構造函式從而利用函式的性質解題，經常利用的性質是：f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函式、二次函式、冪函式、指數函式、對數函式、三角函式的具體特性。在解題中，善於挖掘題目中的隱含條件，構造出函式解析式和妙用函式的性質，是套用函式思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯繫，構造出函式原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函式問題，即用函式思想解答非函式問題。

函式知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、套用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們套用函式思想的幾種常見題型是：遇到變數，構造函式關係解題；有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函式觀點加以分析；含有多個變數的數學問題中，選定合適的主變數，從而揭示其中的函式關係；實際套用問題，翻譯成數學語言，建立數學模型和函式關係式，套用函式性質或不等式等知識解答；等差、等比數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函式，數列問題也可以用函式方法解決。

數形結合

中學數學的基本知識分三類：一類是純粹數的知識，如實數、代數式、方程（組）、不等式（組）、函式等；一類是關於純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關於數形結合的知識，主要體現是解析幾何。

數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其套用大致可以分為兩種情形：或者是藉助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯繫，即以形作為手段，數為目的，比如套用函式的圖像來直觀地說明函式的性質；或者是藉助於數的精確性和規範嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如套用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界的量的關係與空間形式的科學。”數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯繫，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。“數”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數”和“形”的矛盾的統一。華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。 ”

數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關係，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值範圍。

數學中的知識，有的本身就可以看作是數形的結合。如：銳角三角函式的定義是藉助於直角三角形來定義的；任意角的三角函式是藉助於直角坐標系或單位圓來定義的。

數學思想在人類文明中的作用

1、數學與自然科學：

在天文學領域裡，在第谷·布拉埃觀察的基礎上，克卜勒提出了天體運動三定律： （a）行星在橢圓軌道上繞太陽運動，太陽在此橢圓的一個焦點上。

（b）從太陽到行星的向徑在相等的時間內掃過的面積是F(如圖)。

（c）行星繞太陽公轉的周期的平方與橢圓軌道C的半長軸的立方成正比。

克卜勒是世界上第一個用數學公式描述天體運動的人，他使天文學從古希臘的靜態幾何學轉化為動力學。這一定律出色地證明了畢達哥拉斯主義核心的數學原理。的確是，現象的數學結構提供了理解現象的鑰匙。

愛因斯坦的相對論是物理學中，乃至整個宇宙的一次偉大革命。其核心內容是時空觀的改變。牛頓力學的時空觀認為時間與空間不相干。愛因斯坦的時空觀卻認為時間和空間是相互聯繫的。促使愛因斯坦做出這一偉大貢獻的仍是數學的思維方式。愛因斯坦的空間概念是相對論誕生50年前德國數學家黎曼為他準備好的概念。

在生物學中，數學使生物學從經驗科學上升為理論科學，由定性科學轉變為定量科學。它們的結合與相互促進已經產生並將繼續產生許多奇妙的結果。生物學的問題促成了數學的一大分支——生物數學的誕生與發展，到今天生物數學已經成為一門完整的學科。它對生物學的新套用有以下三個方面：生命科學、生理學、腦科學。

2、數學與社會科學

如果說在自然科學中，更多的是運用數學的計算公式及計算能力；那么在社會科學的領域中，就更能體現出數學思想的作用。

要藉助數學的思想，首先，必須發明一些基本公理，然後通過嚴密的數學推導證明，從這些公理中得出人類行為的定理。而公理又是如何產生的呢？藉助經驗和思考。而在社會學的領域中，公理自身應該有足夠的證據說明他們合乎人性，這樣人們才會接受。說到社會科學，就不免提一下數學在政治領域中的作用。休謨曾說：“政治可以轉化為一門科學”。而在政治學公理中，洛克的社會契約論具有非常重要的意義，它不僅僅是文藝復興時期的代表，也推動了整個社會的進步。西方的資產階級的文明比起封建社會的文明是進步了許多，但它必將被社會主義、共產主義文明所取代。共產黨人提出的“解放全人類”——為人民謀幸福、“為人民服務”和“三個代表”應當也必將成為政府的基本公理。

在政治中不能不提的便是民主，而民主最為直接的表現形式就是選舉。而數學在選票分配問題上發揮著重要作用。選票分配首先就是要公平，而如何才能做到公平呢？1952年數學家阿羅證明了一個令人吃驚的定理——阿羅不可能定理，即不可能找到一個公平合理的選舉系統。這就是說，只有相對合理，沒有絕對合理。原來世上本無“公平”！阿羅不可能定理是數學套用於社會科學的一個里程碑。

在經濟學中，數學的廣泛而深入的套用是當前經濟學最為深刻的變革之一。現代經濟學的發展對其自身的邏輯和嚴密性提出了更高的要求，這就使得經濟學與數學的結合成為必然。首先，嚴密的數學方法可以保證經濟學中推理的可靠性，提高討論問題的效率。其次，具有客觀性與嚴密性的數學方法可以抵制經濟學研究中先入為主的偏見。第三，經濟學中的數據分析需要數學工具，數學方法可以解決經濟生活中的定量分析。

在人口學、倫理學、哲學等其他社會科學中也滲透著數學思想

等價轉化

等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識範圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規範、複雜的問題轉化為熟悉、規範甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利於強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。 轉化有等價轉化與非等價轉化。等價轉化要求轉化過程中前因後果是充分必要的，才保證轉化後的結果仍為原問題的結果。非等價轉化其過程是充分或必要的，要對結論進行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根），它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。我們在套用時一定要注意轉化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。

數學思想領悟

著名的數學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什麼叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉化為已經解過的題”。數學的解題過程，就是從未知向已知、從複雜到簡單的化歸轉換過程。

等價轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在套用等價轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統一的模式去進行。它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換；它可以在巨觀上進行等價轉化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數學語言的翻譯；它可以在符號系統內部實施轉換，即所說的恆等變形。消去法、換元法、數形結合法、求值求範圍問題等等，都體現了等價轉化思想，我們更是經常在函式、方程、不等式之間進行等價轉化。可以說，等價轉化是將恆等變形在代數式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由於其多樣性和靈活性，我們要合理地設計好轉化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。

在數學操作中實施等價轉化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、複雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數式、從無理式到有理式、從分式到整式…等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉化為比較直觀的問題，以便準確把握問題的求解過程，比如數形結合法；或者從非標準型向標準型進行轉化。按照這些原則進行數學操作，轉化過程省時省力，有如順水推舟，經常滲透等價轉化思想，可以提高解題的水平和能力。

分類討論

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，並逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。

引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：

① 問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a=0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。

② 問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有範圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q=1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。

③ 解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值範圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a=0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。

另外，某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。

進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重複，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。

解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的範圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、不漏不重、分類互斥（沒有重複）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最後進行歸納小結，綜合得出結論。

思維方法

數學認識的一般性與特殊性

數學作為對客觀事物的一種認識，與其他科學認識一樣，其認識的發生和發展過程遵循實踐——認識——再實踐的認識路線。但是，數學對象（量）的特殊性和抽象性，又產生與其他科學不同的、特有的認識方法和理論形式。由此產生數學認識論的特有問題。

數學認識的一般性

認識論是研究認識的本質以及認識發生、發展一般規律的學說，它涉及認識的來源、感性認識與理性認識的關係、認識的真理性等問題。數學作為對客觀事物的一種認識，其認識論也同樣需要探討這些問題；其認識過程，與其他科學認識一樣，也必然遵循實踐——認識——再實踐這一辯證唯物論的認識路線。

事實上，數學史上的許多新學科都是在解決現實問題的實踐中產生的。最古老的算術和幾何學產生於日常生活、生產中的計數和測量，這已是不爭的歷史事實。數學家套用已有的數學知識在解決生產和科學技術提出的新的數學問題的過程中，通過試探或試驗，發現或創造出解決新問題的具體方法，歸納或概括出新的公式、概念和原理；當新的數學問題積累到一定程度後，便形成數學研究的新問題（對象）類或新領域，產生解決這類新問題的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成一套經驗知識。這樣，有了新的問題類及其解決問題的新概念、新方法等經驗知識後，就標誌著一門新的數學分支學科的產生，例如，17世紀的微積分。由此可見，數學知識是通過實踐而獲得的，表現為一種經驗知識的積累。

這時的數學經驗知識是零散的感性認識，概念尚不精確，有時甚至導致推理上的矛盾。因此，它需要經過去偽存真、去粗取精的加工製作，以便上升為有條理的、系統的理論知識。

數學知識由經驗知識形態上升為理論形態後，數學家又把它套用於實踐，解決實踐中的問題，在套用中檢驗理論自身的真理性，並且加以完善和發展。同時，社會實踐的發展，又會提出新的數學問題，迫使數學家創造新的方法和思想，產生新的數學經驗知識，即新的數學分支學科。由此可見，數學作為一種認識，與其他科學認識一樣，遵循著感性具體——理性抽象——理性具體的辯證認識過程。這就是數學認識的一般性。

數學認識的特殊性

科學的區分在於研究對象的特殊性。數學研究對象的特殊性就在於，它是研究事物的量的規定性，而不研究事物的質的規定性；而“量”是抽象地存在於事物之中的，是看不見的，只能用思維來把握，而思維有其自身的邏輯規律。所以數學對象的特殊性決定了數學認識方法的特殊性。這種特殊性表現在數學知識由經驗形態上升為理論形態的特有的認識方法——公理法或演繹法，以及由此產生的特有的理論形態——公理系統和形式系統。因此，它不能像自然科學那樣僅僅使用觀察、歸納和實驗的方法，還必須套用演繹法。同時，作為對數學經驗知識概括的公理系統，是否正確地反映經驗知識呢？數學家解決這個問題與自然科學家不盡相同。特別是，他們不是被動地等待實踐的裁決，而是主動地套用形式化方法研究公理系統應該滿足的性質：無矛盾性、完全性和公理的獨立性。為此，數學家進一步把公理系統抽象為形式系統。因此，演繹法是數學認識特殊性的表現。

概括數學本質的嘗試

數學認識的一般性表明，數學的感性認識表現為數學知識的經驗性質；數學認識的特殊性表明，數學的理性認識表現為數學知識的演繹性質。因此，認識論中關於感性認識與理性認識的關係在數學認識論中表現為數學的經驗性與演繹性的關係。所以，認識數學的本質在於認識數學的經驗性與演繹性的辯證關係。那么數學哲學史上哲學家是如何論述數學的經驗性與演繹性的關係，從而得出他們對數學本質的看法的呢？

數學哲學史上最早探討數學本質的是古希臘哲學家柏拉圖。他在《理想國》中提出認識的四個階段，認為數學是處於從感性認識過渡到理性認識的一個階梯，是一種理智認識。這是柏拉圖對數學知識在認識論中的定位，第一次觸及數學的本質問題。

17世紀英國經驗論哲學家J.洛克在批判R.笛卡爾的天賦觀念中建立起他的唯物主義經驗論，表述了數學經驗論觀點。他強調數學知識來源於經驗，但又認為屬於論證知識的數學不如直覺知識清楚和可靠。

德國哲學家兼數學家萊布尼茨在建立他的唯理論哲學中，闡述了唯理論的數學哲學觀。他認為：“全部算術和全部幾何學都是天賦的”；數學只要依靠矛盾原則就可以證明全部算術和幾何學；數學是屬於推理真理。他否認了數學知識具有經驗性。

德國哲學家康德為了克服唯理論與經驗論的片面性，運用他的先驗論哲學，從判斷的分類入手，論述了數學是“先天綜合判斷”。由於這一觀點帶有先驗性和調和性，所以它並沒有解決數學知識的經驗性與演繹性的辯證關係。

康德以後，數學發展進入一個新時期，它的一個重要特點是公理化傾向。這一趨勢使大多數數學家形成一種認識：數學是一門演繹的科學。這種觀點的典型代表是數學基礎學派中的邏輯主義和形式主義。前者把數學歸結為邏輯，後者把數學看作是符號遊戲。1931年哥德爾不完全性定理表明了公理系統的局限性和數學演繹論的片面性。這就使得一些數學家開始懷疑“數學是一門演繹科學”的觀點，提出，數學是一門有經驗根據的科學，但它並不排斥演繹法。這引起一場來自數學家的有關數學本質的討論。

拉卡托斯為了避免數學演繹論與經驗論的片面性，從分析數學理論的結構入手，提出數學是一門擬經驗科學。他說：“作為總體上看，按歐幾里得方式重組數學也許是不可能的，至少最有意義的數學理論像自然科學理論一樣，是擬經驗的。”儘管拉卡托斯給封閉的歐幾里得系統打開了第一個缺口，但是，擬經驗論實際上是半經驗論，並沒有真正解決數學性質問題，因而數學家對它以及數學哲學史上有關數學本質的概括並不滿意。1973年，數理邏輯學家A.羅賓遜說：“就套用辯證法來仔細分析數學或某一種數學理論（如微積分）而言，在我所讀的從黑格爾開始的這方面的著作中，還沒有發現經得起認真批判的東西。”因此，當計算機在數學中的套用引起數學研究方式的變革時，特別是當計算機證明了四色定理和藉助計算機進行大量試驗而創立分形幾何時，再次引起了數學家們對“什麼是證明？”“什麼是數學？”這類有關數學本質的爭論。

數學本質的辯證性

正因為一些著名數學家不滿意對數學本質的概括，他們開始從數學研究的體驗來闡明數學的經驗性與演繹性的相互關係。D.希爾伯特說：數學的源泉就在於思維與經驗的反覆出現的相互作用，馮·諾伊曼說：數學的本質存在著經驗與抽象的二重性；R.庫朗說：數學“進入抽象性的一般性的飛行， 必須從具體和特定的事物出發，並且又返回到具體和特定的事物中去”；而A.羅賓遜則寄希望於：“出現一種以辯證的研究方法為基礎的、態度認真的數學的哲學”。

本節將根據數學知識的三種形態（經驗知識、公理系統和形式系統）及其與實踐的關係，具體說明數學的經驗性與演繹性的辯證關係。

經驗知識是有關數學模型及其解決方法的知識。數學家利用數學和自然科學的知識，從現實問題中提煉或抽象出數學問題（數學模型），然後求模型的數學解（求模型解），並返回實踐中去解決現實問題。這一過程似乎是數學知識的簡單套用，但事實並非如此。因為數學模型是主觀對客觀的反映，而人的認識並非一次完成，特別是遇到複雜的問題時，需要修正已有的數學模型及其求解的方法和理論，並經多次反覆試驗，才能解決現實問題。況且社會實踐的發展，使得舊的方法和知識在解決新問題時顯得繁瑣，甚至無能為力，從而迫使數學家發明或創造新的方法、思想和原理，並在實踐中得到反覆檢驗，產生新的數學分支學科。這時的數學知識是在解決實踐提出的數學問題中產生的，屬於經驗知識，具有經驗的性質。

數學的經驗性向演繹性轉化 第一部分講過，數學經驗知識具有零散性和不嚴密性，有待於上升或轉化為系統的理論知識；而數學對象的特殊性使得這種轉化採取特殊的途徑和方法——公理法，產生特有的理論形態——公理系統。所以，數學的經驗性向演繹性的轉化，具體表現為經驗知識向作為理論形態的公理系統的轉化。

公理系統 是套用公理方法從某門數學經驗知識中提煉出少數基本概念和公理作為推理的前提，然後根據邏輯規則演繹出屬於該門知識的命題構成的一個演繹系統。它是數學知識的具體理論形態，是對數學經驗知識的理論概括。就其內容來說，是經驗的；但就其表現形式來說，是演繹的，具有演繹性質。因為數學成果（一般表現為定理）不能靠歸納或實驗來證實，而必須通過演繹推理來證明，否則，數學家是不予承認的。

公理系統就其對經驗知識的概括來說，是理性認識對感性認識的抽象反映。為了證實這種抽象反映的正確性，數學家採取兩種解決辦法。一是讓理論回到實踐，通過實際套用來檢驗、修改理論。歐幾里得幾何的不嚴密性就是通過此種方法改進的。二是從理論上研究公理系統應該滿足的性質：無矛盾性、完全性和公理的獨立性。這就引導數學家對公理系統的進一步抽象，產生形式系統。

形式系統 是形式化了的公理系統，是由形式語言、公理和推理規則組成的。它是套用形式化方法從不同的具體公理系統中抽象出共同的推理形式，構成一個形式系統；然後用有窮推理方法研究形式系統的性質。所以，形式系統是撇開公理系統的具體內容而作的進一步抽象，是數學知識的抽象理論形態。它採用的是形式推理的方法，表現其知識形態的演繹性。

數學的演繹性向經驗性的轉化 這除了前面說過的認識論原因外，對公理系統和形式系統的研究也證實了這種轉化的必要性。哥德爾不完全性定理嚴格證明了公理系統的局限性：（1 ）形式公理系統的相容性不可能在本系統內得到證明，必須求助於更強的形式公理系統才能證明。而相容性是對公理系統最基本的要求，那么在找到更強的形式公理系統之前，數學家只能像公理集合論那樣，讓公理系統回到實踐中去，通過解決現實問題而獲得實踐的支持。（2 ）如果包含初等算術的形式公理系統是無矛盾的，那么它一定是不完全的。這就是說，即使形式系統的無矛盾性解決了，它又與不完全性相排斥。“不完全性”是指，在該系統中存在一個真命題及其否定都不可證明（稱為不可判定命題）。所以，“不完全性”說明，作為對數學經驗知識的抽象的公理系統，不可能把屬於該門數學的所有經驗知識（命題）都包括無遺。對於“不可判定命題”的真假，只有訴諸實踐檢驗。因此，這兩種情況說明，要解決公理系統的無矛盾性和不可判定命題，必須讓數學的理論知識返回到實踐接受檢驗。

由此可見，數學的認識過程是：在解決現實問題的實踐基礎上獲得數學的經驗知識；然後上升為演繹性的理論知識（公理系統和形式系統）；再返回到實踐中，通過解決現實問題而證實自身的真理性，完善或發展新的數學知識。這是辯證唯物論的認識論在數學認識論上的具體表現，反映了數學本質上是數學知識的經驗性與演繹性在實踐基礎上的辯證統一。

演算方法

既然數學的本質是經驗性與演繹性在實踐基礎上的辯證統一，那么能否對數學的本質進一步作出哲學概括呢？即用簡潔的語言表達數學的本質，就像拉卡托斯說的“數學是擬經驗的科學”那樣。為此，本文提出，數學是一門演算的科學（其中“演”表示演繹，“算”表示計算或算法，“演算”表示演與算這對矛盾的對立統一）。在此，必須說明三點：何以如此概括？“演算”能否反映數學研究的特點以及能否反映數學本質的辯證性？

1.何以如此概括？

首先，從理論上講，數學本質是數學觀的一個重要問題，而數學觀與數學方法論是統一的，所以可以通過方法論來分析數學觀。數學認識對象的特殊性決定了數學認識方法的特殊性。這種特殊性表現在，數學研究除了像自然科學那樣僅僅採用觀察、實驗、歸納的方法外，還必須採用演繹法。因此，可以通過研究數學認識方法來反映數學認識的本質。

其次，從事實上看，數學知識的經驗性表明數學是適應社會實踐需要而產生的，是解決實際問題的經驗積累。社會實踐提出的數學問題都要求給出定量的回答，而要作出定量的回答就必須進行具體的計算，所以計算表征了數學經驗知識的特點。而對於各種具體的計算方法及其一般概括的“算法”（包括公式、原理、法則），也都可以用“算”來概括、反映數學知識的經驗性在方法論上的計算或算法特點。同時，數學知識的演繹性反映數學認識在方法論上的演繹特點，所以，可以用“演”來反映數學知識的演繹性。因此，我們可以用“演算”來反映數學本質的經驗性與演繹性。

第三，為避免概括數學本質的片面性。自從數學分為套用數學與純粹數學以後，許多數學家認為，數學來源於經驗是很早以前的事，現在已經不是了，而是變成一門演繹科學了。而一般人也接受這種觀點。但這樣強調數學的演繹性特點，卻忽視了數學具有經驗性質的一面。為了避免這種片面性，這裡特別通過數學方法論來概括和反映數學的本質。

2.“演算”反映了數學研究的特點

數學研究對象的特殊性產生了數學研究特有的問題：計算與證明。它們成為數學研究的兩項主要工作。關於“證明”。數學對象的特殊性使得數學成果不能像自然科學成果那樣通過實驗來證實，而必須通過邏輯演繹來證明，否則數學家是不予承認的。所以，數學家如何把自己的成果表達成一系列的演繹推理（即證明）就成為重要工作。證明成為數學研究工作的重要特點。關於“計算”。數學本身就是起源於計算，即使數學發展到高度抽象理論的今天，也不能沒有計算。數學家在證明一個定理之前，必須經過大量的具體計算，進行各種試驗或實驗，並加以分析、歸納，才能形成證明的思路和方法。只有在這時候，才能從邏輯上進行綜合論證，表達為一系列的演繹推理過程，即證明。從套用數學來看，更是需要大量的計算，所以人們才發明各種計算機。在電子計算機廣泛套用的今天，計算的規模更大了，以致在數學中出現數值實驗。因此，計算成為數學研究的另一項重要工作。

既然“計算與證明”是數學研究的兩項主要工作和特點，那么“數學是演算的科學”這一概括是否反映出這一特點？“證明”是從一定的前提（基本概念和公理）出發，按照邏輯規則所進行的一種演繹推理。而“演（繹）”正可以反映“證明”這一特點。而“算”顯然更可以直接反映“計算”或“算法”及其特點。由此可見，“演算”反映了數學研究的計算和證明這兩項基本工作及其特點。

3.“演”與“算”的對立統一反映數學性質的辯證性

首先，從數學發展的巨觀來看。數學史告訴我們，數學起源於“算”，即起源於物體個數、田畝面積、物體長度等的計算。要計算就要有計算方法，當各種計算方法積累到一定數量的時候，數學家就進行分類，概括出適用於某類問題的計算公式、法則、原理，統稱為算法。所以數學的童年時期叫做算術，它表現為一種經驗知識。當歐幾里得建立數學史上第一個公理系統時，才出現“演繹法”。此後，“演”與“算”便構成了數學發展中的一對基本矛盾，推動著數學的發展。這在西方數學思想史中表現最為突出。大致說來，在歐幾里得以前，數學思想主要是算法；歐幾里得所處的亞歷山大里亞前期，數學主要思想已由算法轉向演繹法；從亞歷山大里亞後期到18世紀，數學主要思想再次由演繹法轉向算法；19世紀到20世紀上半葉，數學主要思想又由算法轉向演繹法；電子計算機的套用促進了計算數學的發展及其與之交叉的諸如計算流體力學、計算幾何等邊緣學科的產生以及數學實驗的出現。這一切又使算法思想重新得到發展，成為與演繹法並駕齊驅的思想。可以預言，隨著計算機作為數學研究工具地位的確立，算法思想將成為今後相當長一個時期數學的主要思想。算法思想與演繹思想在數學發展過程中的這種更迭替代，從一個側面體現了“演”與“算”這對矛盾在一定條件下的相互轉化。所以，有的數學史工作者從方法論的角度把數學的發展概括為算法傾向與演繹傾向螺旋式交替上升的過程。

其次，從數學研究的微觀來看。“演”中有“算”，這充分表明了我們上面所分析的“證明”中包含著“計算”，包含著“算”向“演”轉化。“算”中有“演”，這充分表現在算術和代數中。算術和代數表現為“算”，但是，算術和代數的“算”，並不是自由地計算，而是要遵循基本的四則運算及其規律，即計算要按照一定的計算規則，就像證明要遵守推理規則一樣。所以“算”中包含著“演”，包含著“演”向“算”的轉化。“演”與“算”的這種對立統一更充分地體現在計算機的數值計算和定理證明中。這種“算”與“演”的對立統一關係，從一個側面反映了數學的經驗性與演繹性的辯證關係，反映了數學性質的辯證性。

綜上所述，既然“演算”概括了數學研究的特點，反映了數學的經驗性與演繹性及其辯證關係，我們就有理由把它作為對數學本質的概括，說“數學是一門演算的科學”。