函式性質

函式（function）表示每個輸入值對應唯一輸出值的一種對應關係。函式f中對應輸入值x的輸出值的標準符號為f(x)。包含某個函式所有的輸入值的集合被稱作這個函式的定義域，包含所有的輸出值的集合被稱作值域。若先定義映射的概念，可以簡單定義函式為，定義在非空數集之間的映射稱為函式，函式是一種特殊映射。

基本介紹

• 中文名：函式
• 外文名：function
• 表達式：y=f(x)=ax2+bx+c
• 套用學科：數學物理
• 適用領域範圍：學術
• 適用領域範圍：理科

頂點式

二次函式有多條頂點式

對於任意一條頂點在坐標軸原點上的二次函式，有y=ax²

對於函式y=ax²,在X軸上平移h個單位，有y=a(x-h)²

對於函式y=ax²,在Y軸上平移k個單位，有y=ax²+k

對於函式y=a(x-h)²在Y軸上平移k個單位，或函式y=ax²+k在X軸上平移h個單位有：

y=a(x-h)²+k

y=a(x-h)²+k也是最常用的一條頂點式，通過代入特殊的點坐標，均可以轉換成y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=ax²三者之一。

三角函式

三角函式是數學中屬於初等函式中的超越函式的一類函式。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變數之間的映射。通常的三角函式是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到複數系。

由於三角函式的周期性，它並不具有單值函式意義上的反函式。

三角函式在複數中有較為重要的套用。在物理學中，三角函式也是常用的工具。

函式名 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割

符號 sin cos tan cot sec csc

對邊（a） 臨邊（b） 斜邊（h）

正弦函式 sin（A）=a/h

餘弦函式 cos（A）=b/h

正切函式 tan（A）=a/b

餘切函式 cot（A）=b/a

正割函式 sec (A) =h/b

餘割函式 csc (A) =h/a

同角三角函式間的基本關係式

·平方關係：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·商的關係：

tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα

·倒數關係：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

三角函式恆等變形公式

·兩角和與差的三角函式：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·萬能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·積化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化積公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

本章教學目標

1.(1)任意角的概念以及弧度制.正確表示象限角、區間角、終邊相同的角，熟練地進行角度制與弧度制的換算.

(2)任意角的三角函式定義，三角函式的符號變化規律，三角函式線的意義.

2.(1)同角三角函式的基本關係和誘導公式.

(2)已知三角函式值求角.

3.函式y=sinx、y=cosx、y=tanx以及y=Asin(ωx+φ)的圖像和“五點法”作圖、圖像法變換，理解A、ω、φ的物理意義.

4.三角函式的定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性.

5.兩角和與差的三角函式、倍角公式，能正確地運用三角公式進行簡單的三角函式式的化簡、求值和恆等證明.

本章包括任意角的三角函式、兩角和與差的三角函式、三角函式的圖像和性質三部分.

三角函式是中學數學的重要內容，它是解決生產、科研實際問題的工具，又是進一步學習其他相關知識和高等數學的基礎，它在物理學、天文學、測量學以及其他各種套用技術學科中有著廣泛的套用.

函式的幾種特性

①有界性

②單調性③奇偶性

單調函式

④周期性

公式一：

設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函式的值相等：

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

公式二：

設α為任意角，π+α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係：

sin（π+α）=－sinα

cos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

公式三：

任意角α與 -α的三角函式值之間的關係：

sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係：

sin（π－α）=sinα

cos（π－α）=－cosα

tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係：

sin（2π－α）=－sinα

cos（2π－α）=cosα

tan（2π－α）=－tanα

cot（2π－α）=－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函式值之間的關係：

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα

sin（3π/2+α）=－cosα

cos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=－cotα

cot（3π/2+α）=－tanα

sin（3π/2－α）=－cosα

cos（3π/2－α）=－sinα

tan（3π/2－α）=cotα

cot（3π/2－α）=tanα

(以上k∈Z)

最值問題

一次函式的最大值與最小值

一次函式y=kx+b在其定義域(全體實數)內是沒有最大值和最小值的，但是，如果對自變數x的取值範圍有所限制時，一次函式就可能有最大值和最小值了．

例1設a是大於零的常數，且a≠1，求y的最大值與最小值．

大值a．

例2已知x，y，z是非負實數，且滿足條件

x+y+z=30，3x+y-z=50．

求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．

分析 題設條件給出兩個方程，三個未知數x，y，z，當然，x，y，z的具體數值是不能求出的．但是，我們固定其中一個，不妨固定x，那么y，z都可以用x來表示，於是u便是x的函式了．

解 從已知條件可解得

y=40-2x，z=x-10．

所以

u=5x+4y+2z

=5x+4(40-2x)+2(x-10)

=-x+140．

又y，z均為非負實數，所以

解得10≤x≤20．

由於函式u=-x+140是隨著x的增加而減小的，所以當x=10時，u有最大值130；當x=20時，u有最小值120．

二次函式的最大值與最小值

例3已知x1，x2是方程

x-(k-2)x+(k+3k+5)=0

解 由於△=[-(k-2)]^2-4(k+3k+5)≥0，，所以二次方程有實根

3k+16k+16≤0，

例4已知函式

有最大值-3，求實數a的值．

解 因為

的範圍內分三種情況討論．

-a+4a-1=-3

例5已知邊長為4的正方形截去一個角後成為五邊形ABCDE(如圖3－12)，其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積．

解 設矩形PNDM的邊DN=x，NP=y，於是矩形PNDM的面積

S=xy，2≤X≤4．

易知CN=4-x，EM=4-y，且有

二次函式S=f(x)的圖像開口向下，對稱軸為x=5，故當x≤5時，函式值是隨x的增加而增加，所以，對滿足2≤x≤4的S來說，當x=4時有最大值

例6設p>0，x=p時，二次函式f(x)有最大值5，二次函式g(x)的最小值為-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．

解 由題設知

f(p)=5，g(p)=25，

f(p)+g(p)=p+16p+13，

所以 p+16p+13=30，

p=1(p=-17捨去)．

由於f(x)在x=1時有最大值5，故設

f(x)=a(x-1)+5，a<0，

所以

g(x)=x+16x+13-f(x)

=(1-a)x+2(a+8)x+8-a．

由於g(x)的最小值是-2，於是

解得a=-2，從而

g(x)=3x+12x+10．

分式函式的最大值與最小值

法是去分母後，化為關於x的二次方程，然後用判別式△≥0，得出y的取值範圍，進而定出y的最大值和最小值．

解 去分母、整理得

(2y-1)x+2(y+1)x+(y+3)=0．

△≥0，即

△=[2(y+1)]-4(2y-1)(y+3)≥0，

解得　-4≤y≤1．

時，取最小值-4，當x=-2時，y取最大值1．

說明 本題求最值的方法叫作判別法，這也是一種常用的方法．但在用判別法求最值時，應特別注意這個最值能否取到，即是否有與最值相應的x值．

解 將原函式去分母，並整理得

yx-ax+(y-b)=0．

因x是實數，故

△=(-a)-4·y·(y-b)≥0，

由題設知，y的最大值為4，最小值為-1，所以

(y+1)(y-4)≤0，

即　y-3y-4≤0．　 ②

由①，②得

所以a=±4，b=3．

其他函式的最大值與最小值

處理一般函式的最大值與最小值，我們常常用不等式來估計上界或下界，進而構造例子來說明能取到這個上界或下界．

解 先估計y的下界．

又當x=1時，y=1，所以，y的最小值為1．

說明 在求最小(大)值，估計了下(上)界後，一定要舉例說明這個界是能取到的，才能說這就是最小(大)值，否則就不一定對了．例如，本題我們也可以這樣估計：

但無論x取什麼值時，y取不到-3，即-3不能作為y的最小值．

例10設x，y是實數，求u=x+xy+y-x-2y的最小值．

分析 先將u看作是x的二次函式(把y看作常數)，進行配方後，再把餘下的關於y的代數式寫成y的二次函式，再配方後，便可估計出下界來．

又當x=0，y=1時，u=-1，所以，u的最小值為-1．

例11求函式

的最大值，並求此時的x值，其中[a]表示不超過a的最大整數．

學習指導

函式的概念

（1）映射：設非空數集A，B，若對集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b與之對應，則稱從A到B的對應為映射，記為f：A→B，f表示對應法則，b=f(a)。

（2）函式定義：函式就是定義在非空數集A，B上的映射，此時稱數集A為定義域，象集C=f(x)x∈A為值域。定義域，對應法則，值域構成了函式的三要素。

函式的通性

（1）奇偶性：函式定義域關於原點對稱是判斷函式奇偶性的必要條件，在利用定義判斷時，應在化簡解析式後進行，同時靈活運用定義域的變形，如f(-x)f(x)=0， （f(x)≠0）。

奇偶性的幾何意義是兩種特殊的圖像對稱。

（2）單調性：研究函式的單調性應結合函式單調區間，單調區間應是定義域的子集。

判斷函式單調性的方法：①定義法，即比差法；②圖像法；③單調性的運算性質（實質上是不等式性質）；④複合函式單調性判斷法則。

（3）周期性：周期性主要運用在三角函式及抽象函式中，是化歸思想的重要手段。

求周期的重要方法：①定義法；②公式法；③圖像法；④利用重要結論：若函式f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，則T=2b-2a。

（4）反函式：（考綱中反函式的教學，只要求通過比較同底的指數函式和對數函式，說明指數函式y=ax和對數函式y=loga x互為反函式（a > 0，a≠1）。）

函式的圖像

函式的圖像既是函式性質的一個重要方面，又能直觀地反映函式的性質，在解題過程中，充分發揮圖像的工具作用。

圖像作法：①描點法；②圖像變換。應掌握常見的圖像變換。

本單元常見的初等函式：一次函式，二次函式，反比例函式，指數函式，對數函式。在具體的對應法則下理解函式的通性，掌握這些具體對應法則的性質。分段函式是重要的函式模型。

對於抽象函式，通常是抓住函式特性是定義域上恆等式，利用賦值法（變數代換法）解題。主要思想方法：數形結合，分類討論，函式方程，化歸等。