二次函式

二次函式（quadratic function）的基本表示形式為y=ax²+bx+c（a≠0）。二次函式最高次必須為二次， 二次函式的圖像是一條對稱軸與y軸平行或重合於y軸的拋物線。

二次函式表達式為y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定義是一個二次多項式（或單項式）。

如果令y值等於零，則可得一個二次方程。該方程的解稱為方程的根或函式的零點。

基本介紹

• 中文名：一元二次函式
• 外文名：Quadratic function
• 簡稱：二次函式
• 函式圖像：拋物線
• 函式表達式：y=ax2+bx+c（a≠0 abc為常數)
• 對稱軸：直線x=h
• 交點式：y=a(x-x1)(x-x2)　（a≠0）
• 頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0）
• 學科：數學
• 頂點坐標：（h，k）
• 頂點坐標公式：（-b/2a,4ac-b2/4a）

基本定義

一般地，把形如（a、b、c是常數）的函式叫做二次函式，其中a稱為二次項係數，b為一次項係數，c為常數項。x為自變數，y為因變數。等號右邊自變數的最高次數是2。

頂點坐標

交點式為 （僅限於與x軸有交點的拋物線），

與x軸的交點坐標是 和 。

注意：“變數”不同於“未知數”，不能說“二次函式是指未知數的最高次數為二次的多項式函式”。“未知數”只是一個數（具體值未知，但是只取一個值），“變數”可在一定範圍內任意取值。在方程中適用“未知數”的概念（函式方程、微分方程中是未知函式，但不論是未知數還是未知函式，一般都表示一個數或函式——也會遇到特殊情況），但是函式中的字母表示的是變數，意義已經有所不同。從函式的定義也可看出二者的差別。。

歷史

大約在公元前480年，古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根，但是並沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程的人，它同時容許有正負數的根。

11世紀阿拉伯的花拉子密 獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liber embadorum中，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。

據說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在著爭議。這個求解規則是：在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍；在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方；然後在方程的兩邊同時開二次方（引自婆什迦羅第二）

函式性質

1.二次函式的圖像是拋物線，但拋物線不一定是二次函式。開口向上或者向下的拋物線才是二次函式。拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）。

2.拋物線有一個頂點P，坐標為P 。當 時，P在y軸上；當 時，P在x軸上。

3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下。|a|越大，則拋物線的開口越小；|a|越小，則拋物線的開口越大。

4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左側；當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右側。（可巧記為：左同右異）

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交於(0, c）

6.拋物線與x軸交點個數： 時，拋物線與x軸有2個交點。 時，拋物線與x軸有1個交點。當 時，拋物線與x軸沒有交點。

7.當 時，函式在 處取得最小值 ；在 上是減函式，在 上是增函式；拋物線的開口向上；函式的值域是 。

當 時，函式在 處取得最大值 ；在 上是增函式，在 上是減函式；拋物線的開口向下；函式的值域是 。

當 時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式，解析式變形為y=ax²+c(a≠0)。

8.定義域：R

值域：當a>0時，值域是 ；當a<0時，值域是 。

奇偶性：當b=0時，此函式是偶函式；當b不等於0時，此函式是非奇非偶函式。

周期性：無

解析式：

①一般式：

⑴a≠0

⑵若a>0，則拋物線開口朝上；若a<0，則拋物線開口朝下；

⑶頂點： ；

⑷

若Δ>0，則函式圖像與x軸交於兩點：

和 ；

若Δ=0，則函式圖像與x軸交於一點：

若Δ<0，函式圖像與x軸無公共點；

②頂點式： 此時頂點為（h,k)

時，對應頂點為 ，其中, ；

③交點式：

函式圖像與x軸交於 和 兩點。

表達式

頂點式

y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k為常數),頂點坐標為（h,k)，對稱軸為直線x=h，頂點的位置特徵和圖像的開口方向與函式y=ax²的圖像相同，當x=h時，y最大（小）值=k.有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式。

例：已知二次函式y的頂點(1,2)和另一任意點(3,10)，求y的解析式。

解：設y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。

注意：與點在平面直角坐標系中的平移不同，二次函式平移後的頂點式中，h>0時，h越大，圖像的對稱軸離y軸越遠，且在x軸正方向上，不能因h前是負號就簡單地認為是向左平移。

具體可分為下面幾種情況：

當h>0時，y=a(x-h)²的圖像可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到；

當h<0時，y=a(x-h)²的圖像可由拋物線y=ax²向左平行移動|h|個單位得到；

當h>0,k>0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²+k的圖象；

當h>0,k<0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；

當h<0,k>0時，將拋物線y=ax²向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；

當h<0,k<0時，將拋物線y=ax²向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象。

交點式

[僅限於與x軸即y=0有交點時的拋物線，即b²-4ac≥0] .

已知拋物線與x軸即y=0有交點A(x₁, 0)和B(x₂, 0),我們可設 ,然後把第三點代入x、y中便可求出a。

由一般式變為交點式的步驟： (韋達定理)

重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向。a>0時，開口方向向上；a<0時，開口方向向下。a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越小開口就越大。

f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引導出交點式的係數 (y為截距)　二次函式表達式的右邊通常為二次三項式。

歐拉交點式：

若ax²+bx+c=0有兩個實根x₁,x₂，則 此拋物線的對稱軸為直線 。

三點式

方法1：

已知二次函式上三個點，(x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)。把三個點分別代入函式解析式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k為常數)，有：

得出一個三元一次方程組，就能解出a、b、c的值。

方法2：

已知二次函式上三個點，(x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)

利用拉格朗日插值法，可以求出該二次函式的解析式為：

與X軸交點的情況:

當 時，函式圖像與x軸有兩個交點，分別是(x₁, 0)和(x₂, 0)。

當 時，函式圖像與x軸只有一個切點，即 。

當 時，拋物線與x軸沒有公共交點。x的取值範圍是虛數（ ）

函式圖像

基本圖像

在平面直角坐標系中作出二次函式y=ax²+bx+c的圖像，可以看出，在沒有特定定義域的二次函式圖像是一條永無止境的拋物線。 如果所畫圖形準確無誤，那么二次函式圖像將是由 平移得到的。

軸對稱

二次函式圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線

二次函式圖像

對稱軸與二次函式圖像唯一的交點為二次函式圖象的頂點P。

特別地，當b=0時，二次函式圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）。是頂點的橫坐標（即x=？）。

a,b同號，對稱軸在y軸左側；

a,b異號，對稱軸在y軸右側。

頂點

二次函式圖像有一個頂點P，坐標為P(h,k)。

當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點式y=a(x-h)²+k（x≠0）

, 。

開口

二次項係數a決定二次函式圖像的開口方向和大小。

當a>0時，二次函式圖象向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則二次函式圖像的開口越小。

決定位置因素

一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

當a>0,與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因為對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大於0，所以a、b要同號

當a>0,與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小於0，所以a、b要異號

可簡單記憶為左同右異，即當對稱軸在y軸左時，a與b同號（即a>0，b>0或a<0，b<0）；當對稱軸在y軸右時，a與b異號（即a0或a>0，b<0）（ab<0）。

事實上，b有其自身的幾何意義：二次函式圖象與y軸的交點處的該二次函式圖像切線的函式解析式（一次函式）的斜率k的值。可通過對二次函式求導得到。

決定交點因素

常數項c決定二次函式圖像與y軸交點。

二次函式圖像與y軸交於（0,C）點

注意：頂點坐標為（h,k)， 與y軸交於（0,C)。

與x軸交點數

a<0;k>0或a>0;k<0時，二次函式圖像與x軸有2個交點。

k=0時，二次函式圖像與x軸只有1個交點。

質疑點：a<0;k<0或a>0,k>0時，二次函式圖像與x軸無交點。

當a>0時，函式在x=h處取得最小值 =k，在x<h範圍內是減函式，在x>h範圍內是增函式（即y隨x的變大而變大），二次函式圖像的開口向上，函式的值域是y>k

當a<0時，函式在x=h處取得最大值 =k，在x<h範圍內是增函式，在x>h範圍內是減函式（即y隨x的變大而變小），二次函式圖像的開口向下，函式的值域是y<k

當h=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式

函式圖象

對稱關係

對於一般式：

①y=ax²+bx+c與y=ax²-bx+c兩圖像關於y軸對稱

②y=ax²+bx+c與y=-ax²-bx-c兩圖像關於x軸對稱

③y=ax²+bx+c與y=-ax²+bx+c-b²/2a關於頂點對稱

④y=ax²+bx+c與y=-ax²+bx-c關於原點中心對稱。（即繞原點旋轉180度後得到的圖形）

對於頂點式：

①y=a(x-h)²+k與y=a(x+h)²+k兩圖像關於y軸對稱，即頂點(h, k)和(-h, k)關於y軸對稱，橫坐標相反、縱坐標相同。

②y=a(x-h)²+k與y=-a(x-h)²-k兩圖像關於x軸對稱，即頂點(h, k)和(h, -k)關於x軸對稱，橫坐標相同、縱坐標相反。

③y=a(x-h)²+k與y=-a(x-h)²+k關於頂點對稱，即頂點(h, k)和(h, k)相同，開口方向相反。

④y=a(x-h)²+k與y=-a(x+h)²-k關於原點對稱，即頂點(h, k)和(-h, -k)關於原點對稱，橫坐標、縱坐標都相反。

（其實①③④就是對f(x)來說f(-x),-f(x),-f(-x)的情況）

五點法

五點草圖法又被叫做五點作圖法是二次函式中一種常用的作圖方法。

註明：雖說是草圖，但畫出來絕不是草圖。

五點草圖法中的五個點都是極其重要的五個點，分別為：頂點、與x軸的交點、與y軸的交點及其關於對稱軸的對稱點。

Ps.正規考試也是用這種方法初步確定圖像。但是正規考試的要求在於要列表格，取x、y，再確定總體圖像。五點法是可以用在正規考試中的。

描點法

在國中數學中，要求採用描點法畫出二次函式圖像。

其做法與五點法類似：【以 為例】

1、列表

x	……	-1	-0.5	0	1	2	2.5	3	……
	……	7	3.5	1	-1	1	3.5	7	……

先取頂點，用虛線畫出對稱軸。取與x軸兩個交點（如果存在）、y軸交點及其對稱點（如果存在）和另外兩點及其對稱點。Ps.原則上相鄰x的差值相等，但遠離頂點的點可以適當減小差值

y=2(x-1)^2-1

2、依據表格數據繪製函式圖像,如圖

方程關係

特別地，二次函式（以下稱函式） ,

當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程（以下稱方程），即

此時，函式圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

函式與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

1．二次函式y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：

y=ax² (0，0) x=0

y=ax²+K (0，K) x=0

y=a(x-h)² (h，0) x=h

y=a(x-h)²+k (h，k) x=h

y=ax²+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a

當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到，

當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到。

當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²+k（h>0,k>0）的圖象

當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位，就可得到y=a(x-h)²+k（h>0,k<0）的圖象

當h<0,k>0時，將拋物線y=ax^2向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位，就可得到y=a(x+h)²+k（h<0,k>0）的圖象

當h<0,k<0時，將拋物線y=ax^2向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位，就可得到y=a(x+h)²+k（h<0,k<0）的圖象

在向上或向下。向左或向右平移拋物線時，可以簡記為“上加下減，左加右減”。

因此，研究拋物線 y=ax²+bx+c(a≠0)的圖像，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)²+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖像提供了方便。

2．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的圖像：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)。

3．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大。若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小。

4．拋物線y=ax²+bx+c的圖像與坐標軸的交點：

(1)圖像與y軸一定相交，交點坐標為(0, c)；

(2)當 時，圖像與x軸交於兩點A(x₁, 0)和B(x₂, 0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的兩根．這兩點間的距離 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由 （A為其中一點的橫坐標的兩倍）

當 時，圖像與x軸只有一個切點；

當 時，圖像與x軸沒有公共點。當a>0時，圖像落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖像落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0。

5．拋物線y=ax²+bx+c的最值：如果a>0，則當 時， ；如果a<0，則當 時， 。

頂點的橫坐標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱坐標，是最值的取值。

6．用待定係數法求二次函式的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式（表達式）為一般形式：

(a≠0)

(2)當題給條件為已知圖像的頂點坐標或對稱軸或極大（小）值時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。

(3)當題給條件為已知圖像與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)。

學習方法

知識要點

1.要理解函式的意義。

2.要記住函式的幾個表達形式，注意區分。

3.一般式，頂點式，交點式，等，區分對稱軸，頂點，圖像，y隨著x的增大而減小（增大）(增減值）等的差異性。

4.聯繫實際對函式圖象的理解。

5.計算時，看圖像時切記取值範圍。

6.隨圖象理解數字的變化而變化。 二次函式考點及例題

二次函式知識很容易與其他知識綜合套用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現。

誤區提醒

（1）對二次函式概念理解有誤，漏掉二次項係數不為0這一限制條件；

（2）對二次函式圖像和性質存在思維誤區；

（3）忽略二次函式自變數取值範圍；

（4）平移拋物線時，弄反方向。

定義與表達式

一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：

y=ax²+bx+c

（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.）

則稱y為x的二次函式。

二次函式表達式的右邊通常為二次三項式。

三種表達式

一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）

頂點式：y=a(x-h)²+k[拋物線的頂點P(h, k)]

交點式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[僅限於與x軸有交點A（x₁，0）和B（x₂，0）的拋物線]

註：在3種形式的互相轉化中，有如下關係：

, ，

拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個頂

點P，坐標為

當 時，P在y軸上；當 時，P在x軸上。

3.二次項係數a決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線開口大小。

當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項係數b和二次項係數a有1個交點。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交於（0，c）

拋物線與x軸

交點個數

Δ=b²-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ=b²-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。

係數表達的意義

a決定拋物線的開口方向和大小.當a>0時,拋物線向上開口；當a<0時,拋物線向下開口.
b和a共同決定對稱軸的位置.當a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0）,對稱軸在y軸右.
c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交於（0,c）