基本介紹
簡介,歷史起源,分類,研究空間形式的幾何類,研究離散系統的代數類,研究連續現象的分析類,純粹數學與套用數學,
簡介
純粹數學也叫基礎數學，是一門專門研究數學本身，不以實際套用為目的的學問，研究從客觀世界中抽象出來的數學規律的內在聯繫，也可以說是研究數學本身的規律。相對於套用數學而言，和其它一些不以套用為目的的理論科學(例如理論物理、理論化學)有密切的關係。純粹數學以其嚴格、抽象和美麗著稱。自18世紀以來，純粹數學成為數學研究的一個特定種類，並隨著探險、天文學、物理學、工程學等的發展而發展。
純粹數學以數論為其代表。
歷史起源
純粹數學一詞正式出現在數學文獻中是在19世紀初，當時有三種專業數學期刊正式標有純粹數學的字樣，它們是：1810年法國數學家熱爾戈納(J．D．Gergonne，1771一1859)創辦的《純粹與套用數學年刊》，1826年德國數學家克雷勒創辦的《純粹與套用數學雜誌》，常簡稱為《克雷勒雜誌》；1836年法國數學家劉維爾(J．Liouville，1809一1882)創辦的與《克雷勒雜誌》競爭的《純粹與套用數學雜誌》。這三種數學期刊不約而同地選用“純粹數學”的稱謂表明：純粹數學的概念已經成熟；純粹數學是套用數學的對立面；純粹數學取得一定的合法地位，為其不斷擴張打下基礎。
請注意，這些都是與當時整個社會的革命形勢分不開的，具體到數學，數學家開始職業化、專業化，他們不僅要教學，還要搞科研。搞科研就要有專業雜誌發表成果，沒有成果不用說提職提級，可能連飯碗都保不住。200年來，純粹數學的旗幟為許多天才數學家的創新提供了機會。在這個意義下，挪威人阿貝爾(N．H．Abel，1802--1829)可以說是第一位純粹數學家。時至今日，純粹數學已經成為整個數學的主流。
進入20世紀，數學家們受到希爾伯特的影響，開始使用公理系統。羅素建立了“純粹數學”的邏輯公式，以量化的命題為形式。隨著數學的公理化，這些公式變得越來越抽象了，“嚴格證明”成為的簡單的標準。實際上，“嚴格”在“證明”中沒有任何新意。以布爾巴基小組的觀點，純粹數學就是被證明了的。
分類
純粹數學研究從客觀世界中抽象出來的數學規律的內在聯繫，也可以說是研究數學本身的規律。它大體上分為三大類，即研究空間形式的幾何類，研究離散系統的代數類，研究連續現象的分析類。
研究空間形式的幾何類
屬於第一類的如微分幾何、拓撲學。微分幾何是研究光滑曲線、曲面等，它以數學分析、微分幾何為研究工具。在力學和一些工程問題（如彈性殼結構、齒輪等方面）中有廣泛的套用。拓撲學是研究幾何圖形在一對一的雙方連續變換下不變的性質，這種性質稱為“拓撲性質”。如畫在橡皮膜上的圖形當橡皮膜受到變形但不破裂或摺疊時，曲線的閉合性、兩曲線的相交性等都是保持不變的。
研究離散系統的代數類
研究連續現象的分析類
屬於第三類的如微分方程、函式論、泛函分析。微分方程是含有未知函式的導數或偏導數的方程。如未知函式是一元函式，則稱為常微分方程，如未知函式是多元函式，則稱為偏微分方程。函式論是實函式論（研究實數範圍上的實值函式）和複變函數（研究在複數平面上的函式性質）的總稱。泛函分析是綜合運用函式論、幾何學、代數學的觀點來研究無限維向量空間（如函式空間）上的函式、運算元和極限理論，它研究的不是單個函式，而是具有某種共同性質的函式集合。它在數學和物理中有廣泛的套用。
純粹數學與套用數學
什麼是純粹數學？什麼是套用數學？它們的界線怎樣劃分？這些都是頗為模糊的問題。純粹數學與套用數學間很難劃出嚴格的界線。數學問題最初來自客觀世界 ，往後則按其自身的規律發展，慢慢地脫離原來的問題，成為一個邏輯上完整的體系。從數學問題來看 ，由數學內部矛盾引出的問題發展起來的數學分支應屬純粹數學問題， 來自客觀世界的應屬套用數學。但還有些問題不是很明顯的，從價值標準來看 ，純粹數學總是將美與真放在一起 ，將數學美作為首要評價標準之一，套用數學除要求數學美之外 ，總還要有套用，至少有套用的前景。
可否將數學分成若干圈，最裡面是純粹數學，如數理邏輯、數論、代數、幾何、拓撲、分析學這 些學科中的問題，都是來自數學的內部矛盾，應屬純粹數學。往外延伸，如微分方程、機率論、組合數學等則系具體分析， 它們都已形成自身的理論體系，可以從自身內部矛盾來提出待研究的課題，也有以自然科學與工程技術為背景提出的研究課題。至於計算方法、數理統計與運籌學等 ，其實際背景就很清楚如運籌學中的一些問題就是用數學語 言來描寫一個實際問題，然後再找出可行的求解方法。統計中的實驗設計就是要科學地安排實驗 ，使實驗次數盡 可能少，而得到的信息量儘可能大。在這裡數學與自然科學及工程技術的關係就相當密切了。其價值標準，除要 求理論與方法簡單明了外，是否真正有用也很重要，應該屬於套用數學範疇，再從處理數學問題的手段來看，純粹數學與套用數學也很有差異。純粹數學中，證明定理的手段就是邏輯推理。套用數學則允許用模擬手段，例如有兩種求整體極大的方法 ，我們將這兩種方法用於已知整體極大的例子，看看這兩種方法各成功多少次，各耗去多少機器時間等，由此來說明這兩個方法的優劣。
