絕對值不等式

絕對值不等式

在不等式套用中,經常涉及質量、面積、體積等,也涉及某些數學對象(如實數向量)的大小或絕對值。它們都是通過非負數來度量的。

公式:||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|

基本介紹

  • 中文名:絕對值不等式
  • 外文名:Absolute value inequality
  • 表達式: ||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|
  • 套用學科:數學
性質,幾何意義,相關公式,

性質

|a|表示數軸上的點a與原點的距離叫做數a的絕對值。
兩個重要性質:
1、|ab| = |a||b|
|a/b| = |a|/|b| (b≠0)
2、|a|<|b| 可逆推出 |b|>|a|
||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|,若且唯若 ab≤0 時左邊等號成立,ab≥0 時右邊等號成立。
另外有:|a-b| ≤ |a|+|-b| = |a|+|-1|*|b| = |a|+|b|
| |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|

幾何意義

1、當a,b同號時它們位於原點的同一邊,此時a與﹣b的距離等於它們到原點的距離之和。
2、當a,b異號時它們分別位於原點的兩邊,此時a與﹣b的距離小於它們到原點的距離之和。(|a-b|表示a-b與原點的距離,也表示a與b之間的距離)

相關公式

絕對值重要不等式推導過程
我們知道|x|={x,(x>0);x,(x=0);-x,(x<0);
因此,有:
-|a|≤a≤|a| ......①
-|b|≤b≤|b| ......②
-|b|≤-b≤|b|......③
由①+②得:
-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|
即 |a+b|≤|a|+|b| ......④
由①+③得:
-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|
即 |a-b|≤|a|+|b| ......⑤
另:
|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|
|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|
由④知:
|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b| => |a|-|b|≤|a+b|.......⑥
|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a| => |a|-|b|≥-|a+b|.......⑦
|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b| => |a|-|b|≤|a-b|.......⑧
|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a| => |a|-|b|≥-|a-b|.......⑨
由⑥,⑦得:
| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩
由⑧,⑨得:
| |a|-|b| |≤|a-b|......⑪
綜合④⑤⑩⑪得到有關 絕對值(absolute value)的重要不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
要注意等號成立的條件(特別是求最值),即:
|a-b|=|a|+|b|→ab≤0
|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0
|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
註:|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|(a+b)-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0
同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
另 “”指可雙向推出
解法
解決與絕對值有關的問題(如解絕對值不等式,解絕對值方程,研究含有絕對值符號的函式等等),其關鍵往往在於去掉絕對值符號。而去掉絕對值符號的基本方法有二。
以下,具體說說絕對值不等式的解法:
其一為平方,所謂平方,比如,|x|=3,可化為x^2=9,絕對值符號沒有了!
其二為討論,所謂討論,即x≥0時,|x|=x ;x<0時,|x|=-x,絕對值符號也沒有了!
說到討論,就是令絕對值中的式子等於0,分出x的段,然後根據每段討論得出的x值,取交集,綜上所述即可。
其三為數形結合法,即在數軸上將各點畫出,將數轉換為長度的概念求解。

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