基本介紹
- 中文名：重要不等式
- 外文名：Important Inequality
- 定義：常用於計算與證明問題的不等式
柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,琴生不等式,均值不等式,冪平均不等式,權方和不等式,
柯西不等式
柯西不等式的一般證法有以下幾種：
⑴Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai,bi，則有 （∑ai2） * （∑bi2） ≥ （∑ai * bi)2.
等號成立條件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（當ai=0或bi=0時ai和bi都等於0，不考慮ai:bi，i=1,2,3,…,n)
我們令 f(x) = ∑（ai + x * bi)2 = （∑bi2） * x2 + 2 * （∑ai * bi) * x + (∑ai2）
則我們知道恆有 f(x) ≥ 0.
用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有 Δ = 4 * （∑ai * bi)2 - 4 * （∑ai2） * （∑bi2） ≤ 0.
於是移項得到結論。
⑵用向量來證.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．
因為cosX≤1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn≤a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2
這就證明了不等式．
柯西不等式還有很多種，這裡只取兩種較常用的證法．
柯西不等式在求某些函式最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，我們在教學中應給予極大的重視。
巧拆常數：
例：設a、b、c 為正數且各不相等。
求證：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均為正數
∴為證結論正確只需證：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=（1+1+1）×（1+1+1）
證明：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥（1+1+1）（1+1+1）=9
又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立
∴原不等式成立。
像這樣的例子還有很多，詞條里不再一一列舉，大家可以在參考資料里找到柯西不等式的證明及套用的具體文獻．
排序不等式
設有兩組數 a1,a2，…… an，b1,b2，…… bn 滿足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an，b1 ≤ b2 ≤……≤ bn 則有 a1bn + a2bn-1 +……+ an b1≤ a1bt + a2bt +……+ anbt ≤ a1b1 + a2b2+……+ anbn，式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一個排列， 若且唯若 a1 = a2 =……= an 或 b1 = b2 =……= bn時成立。
以上排序不等式也可簡記為：反序和≤亂序和≤同序和.
證明時可採用逐步調整法。
證明：其餘不變時，將a1b1 + a2b2 調整為a1b2 + a2b1 ，值變小，只需作差證明（a1 -a2）*（b1 -b2）≥0，這由題意可知成立。
依次類推，根據逐步調整法，排序不等式得證。
亦可用以下方法：
設c1，c2，...,cn是a1，a2，...,an的任意一個排列，Si=c1+c2+...+ci，Ti=a1+a2+...+ai，其中i≤n。
顯然，Si≥Ti,a1*bn+a2* bn-1+...+an* b1=(T2-T1）*bn+(T3-T2）*bn-1+...+(Tn-Tn-1）*b1=Tn*b1-Tn-1*(b1-b2）-...- T1*(bn-1-bn）≤Sn*b1-Sn-1*(b1-b2）-...-S1*(bn-1-bn)=(S2-S1）*bn+（S3-S2）*bn-1+...+(Sn-Sn-1)*b1=c1*a1+c2*a2+
...+cn*an.這樣就證明了 反序和≤亂序和。
同理可證：亂序和≤同序和。
切比雪夫不等式
切比雪夫不等式有兩個
⑴設存在數列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn滿足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn
那么，∑aibi≥（1/n）（∑ai）（∑bi）
⑵設存在數列a1,a2,a3,.....,an和b1,b2,b3,......,bn滿足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn
那么，∑aibi≤（1/n）（∑ai）（∑bi）
琴生不等式
1.若
是區間
上的凹函式，則對任意的
，有不等式:
有若且唯若
時等號成立。2.若
是區間
上的凸函式，則對任意的
，有不等式:
若且唯若
時等號成立。3.其加權形式為：若
是區間
上的凸函式，則對任意的
，且
，有
若
是區間
上的凹函式，則對任意的
，且
，則有f（a1x1+a2x2+a3x3.....+anxn）≤a1f(x1)+a2f(x2)+a3f(x3).....+anf（xn）
均值不等式
a2 + b2≥ 2ab （a與b的平方和不小於它們的乘積的2倍）
當a、b 分別大於0時，上式可變為a+b ≥2√ab
有可分以下幾種情況：
⑴對實數a,b，有a2+b2≥2ab （若且唯若a=b時取“=”號），a2+b2≥-2ab
⑵對非負實數a,b，有a+b≥2√ab≥0，即（a+b)/2≥√ab≥0
⑶對負實數a,b，有a+b<0<2√ab
⑷對實數a,b，有a(a-b）≥b(a-b)
⑸對非負數a,b，有a2+b2≥2ab≥0
⑹對非負數a,b，有a2+b2≥[(a+b)2]/2≥ab
⑺對非負數a,b,c，有a2+b2+c2≥[(a+b+c)2]/3
⑻對非負數a,b,c，有a2+b2+c2≥ab+bc+ac
⑼對非負數a,b，有a2+ab+b2≥[3(a+b)2]/4
⑽對實數a,b,c，有（a+b+c)/3≥（abc)1/3
另：
√[(a2+ b2)/2] ≥（a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
（二次冪平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均）
證明：（證明過程引自他出）
設a，b是兩個正數，
M2=√[(a2+b2)/2]，A=(a+b)/2，G=√ab，H=2/(1/a+1/b)
分別表示a，b兩元的二次冪平均，算術平均，幾何平均和調和平均。證明： M2≥A≥G≥H。
證明 在梯形ABCD中，AB∥CD，記AB=b，CD=a。
EiFi(i=1,2,3,4）是平行於梯形ABCD的底邊且被梯形兩腰所截的線段。
如果E1F1分梯形為等積的兩部分，那么
E1F1=√[(a2+b2)/2]。
如果E2F2分梯形的中位線，那么
E2F2=(a+b)/2。
E3F3=√ab。
E4F4=2/(1/a+1/b）。
從圖中直觀地證明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，當a=b時取等號。
對於n元，√[(x12+x22+...+xn2）/n]≥(x1+x2+...+xn)/n≥(x1x2...xn)1/n≥n/[(1/x1)+(1/x2)+...+(1/xn)]
冪平均不等式
冪平均不等式：ai>0（1≤i≤n），且α>；β，則有（∑ai^α/n)^1/α≥（∑ai^β/n)^1/β成立
iff a1=a2=a3=……=an 時取等號
加權的形式：
設ai>0，pi>0（1≤i≤n），且α>；β，則有
（∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥（∑pi*ai^β/∑pi)^1/β
iff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 時取等號。
特例：
- 調和平均（-1次冪）， -幾何平均（0次冪）， - 算術平均（1次冪）， ， - 二次平均（2次冪）
權方和不等式
1）
a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≥ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m
其中
a,b,n為正整數，m>0 或 m<-1
當且僅僅當a1/b1=a2/b2=...=an/bn時，等號成立
2）
a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≤ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m
其中
a,b,n為正整數，-1<m<0
當且只有當a1/b1=a2/b2=...=an/bn時，等號成立
權方和不等式的等價形式：
（Holder不等式）：∑[i=1，n]ai*bi≤（∑[i=1，n]ai^p）^（1/p) * （∑[i=1,n]bi^q)^（1/q)
上式中1/p+1/q=1,ai,bi為正實數
