希爾伯特不等式

希爾伯特不等式(Hilbert inequality)是有關雙指標和或重級數的一種不等式及其推廣，它是希爾伯特(D.Hilbert)於1888年提出的，關於有限和的不等式。

基本介紹

• 中文名：希爾伯特不等式
• 外文名：Hilbert inequality
• 所屬學科：數學
• 提出者：希爾伯特(D.Hilbert)
• 提出時間：1888年
• 簡介：有關雙指標和或重級數的不等式

基本介紹

希爾伯特不等式是有關雙指標和或重級數的一種不等式及其推廣，關於有限和的下列不等式

其中a₁，a₂，…，a_N≥0，它是希爾伯特(D.Hilbert)於1888年提出的，等號若且唯若a₁=a₂=…=a_N=0時成立，π可以用更小的數

代替。更精確些，有

其中c_N=π-π⁵/2(lnN)^-2+O(lnlnN(lnN)^-3)(N→∞)是最好的。令N→∞，得：

a^p_n^1/p b^q_m^1/q，

(p>1，1/p+1/q=1，a_n≥0，b_n≥0，n=1，2，…)，常數π/sin(π/p)是最好的。它的積分類似是

其中f，g非負，p，q同上。希爾伯特不等式有許多推廣，同時還可找到許多希爾伯特型不等式。如

a^p_n^1/p b^q_n^1/q，

a^p_m^1/p b^q_n^1/q，

a_mb_m≤ a^p_m^1/pb^q_n^1/q，

它們也有明顯的積分類似。

相關定理

定理1 若p>1，1/p+1/q=1，和是非負序列，且

則

除非所有a_m皆為零或所有b_n皆為零。

下面是關於一類較為廣泛的雙線性型的一個結論，它能導出定理1。

定理2 若p>1，1/p+1/q=1，和是非負序列，K是二元函式，具有如下性質：

(1)K為非負，且為一1次齊次式；

(2)；

(3)在(2)中的兩個被積函式均為嚴格遞減。或者，條件更弱些，(2)中的兩個被積函式在區間(1，∞)上為嚴格遞減，而區間(0，1)可分成兩部分：(0，ξ)和(ξ，1)，其中有一個可以為空集，在(0，ξ)上函式為嚴格遞減，在(ξ，1)上函式為嚴格遞增；

(4)當K(x，x)無意義時，規定K(x，x)=0。

則

等號成立僅當所有a_m皆為零或所有b_n皆為零；

而且

等號僅當所有a_m皆為零時成立；類似地

等號僅當所有b_n皆為零時成立。

在上述式中，作為結論的三個不等式實際上是等價的，在最為重要的套用中，取K為

即得定理1，這時，能滿足(3)中的較強條件。

如果取K為

則能滿足(3)中的較弱條件。但這時需要用到條件(4)，以便將相等的對(m，m)從求和中去掉。