權方和不等式

權方和不等式是一個數學中重要的不等式。其證明需要用到赫爾德（Holder）不等式，可用於放縮求最值（極值）、證明不等式等。

基本介紹

• 中文名：權方和不等式
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：放縮求最值（極值）、證明不等式
• 證明所需公式：赫爾德（Holder）不等式

基本信息

簡介

權方和不等式

是一個數學中重要的不等式。

權方和不等式

形式

對於xi，yi>0，當m(m+1）>0時：

(x₁+x₂+x₃+………+x_i+……+x_n)^m+1 /(y₁+y₂+y₃+…………+y_i+……+y_n)^m≤{[x₁^m+1/y₁^m]+[x₂^m+1/y₂^m]+[x₃^m+1/y₃^m]+…………+[x_i^m+1/y_i^m]+……+[x_n^m+1/y_n^m]}.

m(m+1）=0時：

(x₁+x₂+x₃+………+x_i+……+x_n)^m+1/(y₁+y₂+y₃+…………+y_i+……+y_n)^m={[x₁^m+1/y₁^m]+[x₂^m+1/y₂^m]+[x₃^m+1/y₃^m]+…………+[x_i^m+1/y_i^m]+……+[x_n^m+1/y_n^m]}.

m(m+1）<0時：

(x₁+x₂+x₃+………+x_i+……+x_n)^m+1/(y₁+y₂+y₃+…………+y_i+……+y_n)^m≥{[x₁^m+1/y₁^m]+[x₂^m+1/y₂^m]+[x₃^m+1/y₃^m]+…………+[x_i^m+1/y_i^m]+……+[x_n^m+1/y_n^m]}.

其中n是正整數。

取等號的條件：x₁/y₁=x₂/y₂=x₃/y₃=…………=x_i/y_i=……=x_n/y_n.

證明

其證明需要用到赫爾德（Holder）不等式.

赫爾德不等式

（特殊情形）

對於實數p和q，若p≥1，q<+∞，且1/p+1/q=1.

則對於所有實數或複數a1,a2,a3…………ai……an和b1,b2,b3…………bi……bn

恆有|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+……+|aibi|+……+|anbn|≤

[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+……+|ai|^p+……+|an|^p)^（1/p)]*

[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…+|bi|^q+……+|bn|^q)^（1/q)]

若且唯若a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q時，等號成立。

第一式證明

：因為m(m+1）>0，所以m>0或m<-1.

設ai=xi/yi^[m/(m+1）] bi=yi^[m/(m+1）]

p=m+1 q=(m+1）/m

m>0時，p>1，q<+∞成立，且1/p+1/q=1.

所以對於ai、bi>0，恆有：

|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+………+|aibi|+…+|anbn|≤

[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+……..……+|ai|^p+……+|an|^p)^（1/p)]*

[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+……....……+|bi|^q+……+|bn|^q)^（1/q)]

也就是x1+x2+x3+…………+xi+……+xn≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+

[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}^[1/(m+1）]

*{(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^[m/(m+1）]}

不等式兩邊同時取（m+1）次冪，得到：

（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1）≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+

[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}*

（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m

不等式兩邊同除（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m，就得到

（x1+x2+x3+……+xi+……+xn)^(m+1）/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}.得證.

另設ai=yi/xi^[(m+1）/m],bi=xi^[(m+1）/m]

p=-m q=m/(m+1）

當m1，q<+∞成立，且1/p+1/q=1.

所以對於ai、bi>0，恆有：

|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤

[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^（1/p)]*

[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^（1/q)].

也就是y1+y2+y3+…………+yi+……+yn≤（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^[(m+1）/m]

*{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}^(-1/m).

不等式兩邊同時做m次冪，此時不等號方向改變：

（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≥（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1）

*{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}^(-1）

不等式兩邊取倒數（不等號方向改變）再同乘（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1），即得：

（x1+x2+x3+………+xi+……+xn)^(m+1）/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}.

第一式得證。

第二式證明

m就-1和0兩種取值。

m=0時，原式簡化為x1+x2+x3+…………+xi+……+xn=x1+x2+x3+…………+xi+……+xn顯然成立；

m=-1時，原式簡化為y1+y2+y3+…………+yi+……+yn=y1+y2+y3+…………+yi+……yn顯然成立.

第二式得證。

第三式證明

設ai=yi^(-m),bi=xi^(m+1）.

p=-1/m,q=1/(m+1）.

當m(m+1）m>-1.

此時p>1，q<+∞成立，且1/p+1/q=1.

也就是[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]≤[(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1）]/[(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m].

第三式得證。

證畢.

取等號的條件

赫爾德不等式取等號的條件是：

若且唯若a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=…………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q時等號成立。

所以第一式中，取等號的條件分別是：

m>0時候：

x1^(m+1）/y1^(m+1）=x2^(m+1）/y2^(m+1）=x3^(m+1）/y3^(m+1）=…………=

xi^(m+1）/yi^(m+1）=……=xn^(m+1）/yn^(m+1）.

m<-1時候：

x1^m/y1^m=x2^m/y2^m=x3^m/y3^m=…………=xi^m/yi^m=……=xn^m/yn^m.

第三式中，取等號的條件是：

0>m>-1時候：

y1/x1=y2/x2=y3/x3=…………=yi/xi=……=yn/xn.

由於xi、yi都是正數（也正因為這樣，利用赫爾德不等式證明權方和不等式時才能把絕對值符號去掉），所以可以分別通過開（m+1）、m、-1次方簡化為：

x1/y1=x2/y2=x3/y3=…………=xi/yi=……=xn/yn時等號成立。

其他信息

進一步說明

權方和不等式是在高中競賽中很有用的一個不等式，常用來處理分式不等式。

它和赫爾德不等式的這個特殊情形是等價關係。

其中m稱為不等式的權，特點是分子次數比分母高一次。

套用

可用於處理分式不等式、放縮求最值（極值）、證明不等式等方面，對高中數學競賽有幫助。