光滑態射

光滑態射是光滑概形的相對化，也可看成是非異代數簇的族。設f:X→S是有限型態射，若f是平坦態射，並且對任一個點s∈S，纖維f^-1(s)是剩餘域k(s)上的光滑概形，則稱f是光滑態射，X稱為光滑S概形，仿射S空間Aⁿ_S和射影S空間Pⁿ_s都是光滑S概形。當X和S有相同維數時平展態射是光滑態射，反之，光滑態射f:X→S總可以局部地分解為平展態射X→Aⁿ_S與投影Aⁿ_S→S的合成。

基本介紹

• 中文名：光滑態射
• 外文名：smooth morphism
• 所屬學科：數學
• 相關概念：光滑概形、平展態射等

基本介紹

光滑態射是光滑概形的相對化，也可看成是非異代數簇的族。設是有限型態射，若是平坦態射，並且對任一個點，纖維是剩餘域上的光滑概形，則稱是光滑態射，X稱為光滑S概形，仿射S空間和射影S空間都是光滑S概形。當X和S有相同維數時平展態射是光滑態射，反之，光滑態射總可以局部地分解為平展態射與投影的合成。

相關概念與性質

光滑態射的概念是域上非異簇概念的一種相對形式。為簡便起見，假定所有概型都是在域k 上的有限型。

定義

k上有限型概型間的態射 相對維度n光滑，如果

(1) f為平坦；

(2) 如果 為不可約分支使 則

(3) 對每個點 (閉與否)，。

命題1

(a) 開浸沒相對維數0光滑。

(b) 底變換：設相對維數n光滑， 為任意態射，則由底擴張得到的射 也相對維數n 光滑。

(c) 複合: 若相對維數n光滑， 具相對維數m光滑，則具相對維數光滑。

(d) 積：若X及Y 對Z光滑，分別具有相對維數n及m，則相對維數在Z 上光滑。

定理1

設為k上有限型概型間態射，則具相對維數n光滑，若且唯若：

(1)平坦，且

(2) 對每個點令其中是的代數閉包，則為n維勻維且正則，(這時稱“的纖維為幾何正則，具有勻維n")

命題2

設 為代數閉域k上非異簇間的態射。令則下列條件等價：

(i) 為具有相對維數n 且光滑；

(ii)為X上n 秩的局部自由層；

(iii)對每個閉點Zariski切空間上的誘導映射為滿。

命題2設k為特徵0的代數閉域，是k上有限型概型間的態射，對任意r，令{閉店}，則。

性質1 (一般光滑性) 設為特徵0代數閉域k上簇間的射，並設X為非異，則存在非空開子集使為光滑。

注意 ：任意群簇均為齊性空間，只要讓它以左乘積作用於自己。

定理2(Kleiman)設G為特徵0代數閉域k上的群簇，X是在G下的齊性空間。設及是非異簇Y，Z 到X的態射。對任意令表示有到X的態射的Y。於是，存在一個非空開子集使得對每個為非異，它或是空集或是維數為。

性質2(Bertini)設X 是特徵0的代數閉域k 上的非異射影簇，令b是個無基點線性系，則b中幾乎每個元，將它看作X的閉子概型時，都是非異的(但可能是可約的)。