泛代數是以一般代數系統為研究對象的一個數學分支。在諸如矩陣群、置換群、變換群等具體的群概念基礎上，經過抽象概括而得出抽象群的概念；與此類似，可以在一般的群、環、布爾代數、模、格、半群等等概念之上再抽象，得出能概括它們的共性的更加一般的概念。
泛代數首先把群論、環論和格論中一些共有的概念和平行的結果，推廣到代數系統上來。例如，同構、同態、契約關係、子代數系統等基本概念，以及從已給的代數系統建立新的代數系統的各種構造方法：取子代數系統、取同態像、直積、亞直積、正向極限、反向極限、超濾積、自由代數等，它們和群論或環論中相應的概念十分類似。
用正規子群（或理想）可以刻畫群（或環）的契約關係，但是這對Ω代數已不可能了，例如半群的契約關係已不能用子半群去刻畫。然而，對於泛代數仍有和群論類似的關於同態的基本定理以及第一、第二同構定理。和群（環）論類似，在泛代數中也討論代數的子代數格、契約關係格、代數的自同構群等問題。
基本介紹
- 中文名：泛代數
- 外文名：universal algebra
- 拼音：fandaishu
- 性質：研究對象的一個數學分支
簡介,發展,舉例,
簡介
泛代數是代數學的一個分支學科。泛代數是在群、環、域、格等代數系統研究的基礎上進一步抽象得以發展起來的一般代數系統。
一個泛代數 𝒰 是一個二元組 (A,F)，其中 A 是一個非空集合，稱 A 為 𝒰 的全域(universe)或支集(underlying set)，F 是定義於A 上的運算集合（F可能是有限集,也可能是無限集）。對於泛代數可以仿照群、環、域中的方式定義子代數、同態、同構概念等。
發展
早在1898 年，懷特海(Whitehead,A.N.)就意識到要研究泛代數。
直到 20 世紀 30 年代伯克霍夫(Birkhoff,G.D.)的論文發表以前，泛代數的研究沒有什麼發展。這和當時近世代數的大部分分支沒有得到充分的發展有關。
由於數理邏輯的發展，為泛代數的研究提供了一個新的工具，特別是哥德爾完全性定理、塔爾斯基可滿足性概念、緊緻性定理等，使人們意識到邏輯在代數中套用的可能性。
馬爾茨夫(Malcev)於 1941 年發表了這方面的第一篇論文，由於戰爭，他的論文沒有引起人們的注意。後來，塔爾斯基(Tarski,A.)、亨金(Henkin,L.)和魯賓孫(Robinson,A.)開始這方面的研究工作。
利用模型論研究泛代數的主要代表人物有塔爾斯基、亨金、查爾各(Charg,C.C.)、嬌生(Jonsson,B.)、凱斯勒爾(Keisler,H.J.)、林敦(Lyndon,R.C.)、墨爾洛各(Morlog,H.)、斯科特(Scott,D.S.)、沃特(Varght,R.L..)等人。
泛代數的結果也可套用於模型論的研究。
泛代數除了在數學本身的研究中有廣泛套用外，對計算機語言和語義理論的研究也有越來越大的作用。
舉例
群可看成具有一個二元運算（乘法）、一個一元運算（取逆元）和一個零元運算（單位元）的代數系統。
群有單位元的環可看成具有兩個二元運算（加法和乘法）、一個一元運算（取負元）和兩個零元運算（零元和單位元）的代數系統；布爾代數可看成具有兩個二元運算（交和並）、一個一元運算（取補元）和兩個零元運算（0和1）的代數系統。有單位元的環和布爾代數，就可視為同型代數。然而，域不能看成代數系統，因為域中對乘法取逆元不是對域中每一元都有意義，而只是域上的一個“部分運算”。
