正規態射

在範疇論中，正規態射是一類可以自然地分解成單射與滿射的態射。使所有態射皆為正規態射的範疇稱為正規範疇。

基本介紹

• 中文名：正規態射
• 外文名：Normal morphism
• 分類：數理科學

定義

設 為一個有限射影極限與歸納極限的範疇。設為態射。設 為積的投影，而 為上積的內射。定義：

• 上像：
  
• 像：
  

根據極限性質，自然態射 是滿射，而 則是單射。此外還存在唯一一個態射 ，使得合成態射

正好是 。

若為同構，則稱 為正規態射；正規態射可以寫成滿射與單射的合成。所有態射皆為正規態射的範疇稱為正規範疇。

性質

以下三個條件等價：

如果同時是嚴格滿射與嚴格單射，則為同構。

恆為嚴格滿射。

例子

正規態射的重要特性在於它分解為滿射與單射，此分解在阿貝爾範疇中扮演關鍵角色。

對於集合範疇、群範疇以及一個環上的模範疇，嚴格性並不成問題。一旦引入額外結構，狀況將大大地複雜化：例如取為拓撲向量空間範疇，中存在所有有限的積與上積。中的態射即連續線性映射，其像是空間配與的子空間拓撲，上像則是配與的商拓撲；後者一般較前者為細。