閉包運算元

例子

形成拓撲空間子集的閉包有這些性質，如果所有子集的集合按包含 ⊆ 來排序。(注意拓撲閉包運算元不由這些性質來刻畫；完全特徵刻畫請參見庫拉托夫斯基閉包公理。)

另一個典型閉包運算元是: 選取群 G 和任何 G 的子集 X，設 C(X) 是 X 生成的子群，就是說包含 X 的 G 的最小子群。則 C 是在 G 的子集的集合上閉包運算元，它按包含 ⊆ 排序。類似的例子有向量空間的給定子集所生成的子空間，域的給定子集生成的子域，甚至泛代數意義上任何代數的給定子集生成的子代數。

從實數到實數的上取整函式，它對所有實數 x 指派不小於 x 的最小整數，也是閉包運算元。

元素和性質

給定閉包運算元 C，P 的“閉合元素”是一個元素 x，它是 C 的不動點，或者等價的說，它在 C 的像中。如果 a 是閉合的並且 x 是任意的，則有著 x ≤ a 若且唯若 C(x) ≤ a。所以 C(x) 是大於或等於 x 的最小閉合元素。我們看到 C 被唯一的確定自閉合元素的集合。

所有伽羅瓦連線都引發一個閉包運算元(其條目中有解釋)。事實上，所有閉包運算元都以這種方式引發自伽羅瓦連線。伽羅瓦連線不唯一的確定自閉包運算元。引發閉包運算元 C 的伽羅瓦連線可以描述如下: 如果 A 是關於 C 的閉合元素的集合，則 C : P → A 是在 P 和 A 之間的伽羅瓦連線的下伴隨，帶有上伴隨為把 A 嵌入到 P 中。進一步的說，所有把某個子集嵌入 P 的下伴隨都是閉包運算元。“閉包運算元是嵌入的下伴隨”。但是注意不是所有嵌入都有下伴隨。

任何偏序集合 P 都可以被看作範疇，帶有從 x 到 y 的一個單一態射若且唯若 x ≤ y。在偏序集合 P 上的閉包運算元就是在範疇 P 上的 monad。等價的說，閉包運算元可以被單做有額外的冪等和擴展性質的 Posets 範疇的 endofunctor。

如果 P 是完全格，則 P 的子集 A 是對某個 P 上閉包運算元的閉合元素的集合，若且唯若 A 是在 P 上的 Moore家族，就是說 P 的最大元素在 A 中，並且任何 A 中非空子集的下確界(交運算)也在 A 中。任何這樣的集合 A 自身是帶有繼承自 P 的次序的完全格(但是上確界(並運算)可能不同於 P 的)。在 P 上的閉包運算元自身形成一個完全格；在閉包運算元上的次序定義為 C₁ ≤ C₂若且唯若 C₁(x) ≤ C₂(x) 對於所有 P 中的 x。