基本介紹
定義,拓撲學,內點,集合的內部,結論和性質,舉例,內部運算元,
定義
這個定義可以推廣到度量空間X 的任意子集 S。具體地說，對具有度量 d 的度量空間 X，x 是 S 的內點，若對任意 r > 0，存在 y 屬於 S，且 d(x, y) < r。
一個集合的外部是它補集的內部，等同於它閉包的補集；它包含既不在集合內，也不在邊界上的點。一個子集的內部、邊界和外部一同將整個空間分為三塊（或者更少，因為這三者有可能是空集）。內部和外部總是開的，而邊界總是閉的。沒有內部的集合叫做邊緣集。
拓撲學
設集合X及其冪集P(X)，映射i: P(X)→P(X)稱為內部運算元，若且唯若其滿足以下內部公理：
- i1：∀A⊆X，i(A)⊆A；
- i2：∀A⊆X，i(A)=i(i(A))；
- i3：∀A，B⊆X，i(A∩B)=i(A)∩i(B)
- i4：i(X)=X；
其中對於X的子集A，i(A)稱為A的內部，i(A)中的點稱為A的內點。
從內部運算元出發可以定義拓撲，這和從開集，閉集，閉包，鄰域，導集，基等概念出發定義拓撲的方式是等價的。
- 開集
X的子集A稱為開集，若且唯若i(A)=A； - 閉集
X的子集A稱為閉集，若且唯若i(X-A)=X-A； - 閉包運算元，閉包，觸點
- 閉包運算元c:P(X)→P(X)定義為∀A⊆X，c(A)=X-i(X-A)。其中c(A)稱為A的閉包，c(A)中的點稱為A的觸點。閉包運算元是內部運算元的對偶概念，閉包是內部的對偶概念，觸點是內點的對偶概念。
- 鄰域
X的子集A，B，稱A是B的鄰域，若且唯若B⊆i(A)。 - 邊界，邊界點
邊界運算元∂
P(X)→P(X)定義為∀A⊆X，∂A=A-i(A)。其中∂A稱為A的邊界，∂A中的點稱為A的邊界點。
內點
- 這個定義可以推廣到度量空間X的任意子集S。具體地說，對具有度量d的度量空間X，x是S的內點，若對任意不屬於S或在S邊界上的y，都有d(x,y) >0。
集合的內部
集合 S 的內部是 S 的所有內點組成的集合。S 的內部寫作 int(S)、Int(S) 或 S int(S) 是 S 的開子集。
int(S) 是所有包含於 S 的開集的並集。
int(S) 是包含於 S 的最大的開集。
集合 S 是開集，若且唯若S = int(S)。
int(int(S)) = int(S)。（冪等）
若 S 為 T 的子集，則 int(S) 是 int(T) 的子集。
若 A 為開集，則 A 是 S 的子集，若且唯若 A 是 int(S) 的子集。
有時候，上述第二或第三條性質會被作為拓撲內部的定義。
結論和性質
- ∀A，B⊆X，A⊆B ⇒ i(A)⊆i(B)。
- ∀A，B⊆X，i(A∪B)⊇i(A)∪i(B)。
- ∀A，B⊆X，A是開集 ⇒ ( A⊆B ⇔ A⊆i(B) )。（i(B)是包含於B的最大開集。)
- ∀B⊆X，i(B) = ∪{A：A是開集，A⊆B}；（i(B)是B中所有開集之並。）
舉例
在任意空間，空集的內部是空集。
對任意空間 X, int(X) = X.
若 X 為實數的歐幾里德空間 R，則 int([0, 1]) = (0, 1)。
若 X 為實數的歐幾里德空間 R，則有理數集合 Q 的內部是空集。
在實數集上，除了標準拓撲，還可以使用其他的拓撲結構。
若 X = R，且 R 有下限拓撲，則 int([0, 1]) = [0, 1)。
若考慮 R 中所有集合都是開集的拓撲，則 int([0, 1]) = [0, 1]。
若考慮 R 中只有空集和 R 自身是開集的拓撲，則 int([0, 1]) 是空集。
上述示例中集合的內部取決於背景空間的拓撲。接下來給出的兩個示例比較特殊。
在任意離散空間中，由於所有集合都是開集，所以所有集合都等於其內部。
內部運算元
內部運算元是閉包運算元的對偶，在如下意義上
- So=X\ (X\S)-,
還有
- S-=X\ (X\S)o
因此，通過把集合替代為它的補集，閉包運算元和庫拉托夫斯基閉包公理的抽象理論可以輕易的轉換到使用內部運算元的語言中。
