不可分空間

密著拓撲是有最小可能數的開集的拓撲，因為拓撲的定義只要求兩個集合是開集。儘管它的簡單性，帶有多於一個元素和密著拓撲的空間 X 缺乏關鍵的想要的性質： 它不是T0 空間。

基本介紹

• 中文名：不可分空間
• 來源：度量空間中ε-鏈的概念

簡介

在拓撲學中，帶有密著拓撲(trivial topology)的拓撲空間是其中僅有的開集是空集和整個空間的空間。這種空間有時叫做不可分空間(indiscrete space)，它的拓撲有時叫做不可分拓撲。在直覺上，這有著所有點都被“粘著在一起”而通過拓撲方式不可區分的推論。

不可分空間 的其他性質包括:

唯一的閉集是空集和 。 的唯一可能的基是 {}。 如果 有多於一個點，則由於它不是 T0，它不滿足任何更高的T 公理。特別是，它不是豪斯多夫空間。不是豪斯多夫的， 就不是序拓撲，也不是可度量的。 但是 是正則空間、完全正則空間、正規空間和完全正規空間；儘管是在非常空洞意義上，因為僅有的閉集是 ∅ 和 。 是緊緻空間因此是仿緊緻空間、林德勒夫空間和局部緊緻空間。 所有定義域是拓撲空間而陪域是 的函式都是連續函式。 是道路連通並因此是連通空間。 是第一可數空間、第二可數空間和可分離空間。 所有 的子空間都有密著拓撲。 所有 的商空間都有密著拓撲。 密著拓撲空間的任意乘積，帶有要么乘積拓撲要么盒拓撲，都有密著拓撲。 所有 中的序列都收斂於 的所有點。特別是，所有序列都有收斂子序列(整個序列)，因此是 是序列緊緻。 所有集合除了 的內部都是空集。 所有 的非空子集的閉包都是 。在另一種方式下: 所有 的非空子集都是稠密的，這個性質刻畫了密著拓撲空間。 如果 是任何帶有多於一個元素的 的子集，則所有 的元素都是 的極限點。如果 是單元素集合，則所有 \ 的點仍是 的極限點。 是Baire空間。 兩個承載密著拓撲的拓撲空間是同胚的，若且唯若它們有相同的勢。 在某種意義上，密著拓撲的對立者是離散拓撲，它的所有子集都是開集。

密著拓撲屬於偽度量空間，在其中任何兩點之間的距離是 0，並屬於一致空間，在其中全體笛卡爾乘積是 × 是僅有的周圍。

設 Top 是帶有連續映射的拓撲空間範疇，和 Set 是帶有函式的集合範疇。如果 : Top → Set 是指派每個拓撲空間到它的底層集合的函子(所謂的遺忘函子)，並且 : Set → Top 是把密著拓撲放置到給定集合上的函子，則 右伴隨於 。(把離散拓撲放置到給定集合上的函子 : Set → Top 左伴隨於 。)