內部代數

在抽象代數中，內部代數是採用了集合的拓撲內部概念的特定類型的代數結構。內部代數之對於拓撲和模態邏輯 S4 如同布爾代數之對於集合論和普通命題邏輯。內部代數形成了模態代數的一個簇。

基本介紹

• 中文名：內部代數
• 屬性：代數結構

定義

內部代數是帶有如下標識(signature)的代數結構<S, ·, +, ', 0, 1, ^l>，其中<S, ·, +, ', 0, 1 >是布爾代數，後綴 ^l 是一元運算內部運算元，它滿足如下恆等式：

1. x^l≤x
   
2. x^ll=x^l
   
3. (xy)^l=x^ly^l
   
4. 1^l = 1
   

x^l叫做x的內部。

內部運算元的對偶是閉包運算元^c，定義為x^c= ((x')^l)'。x^c叫做x的閉包。通過對偶原理，閉包運算元滿足如下恆等式:

1. x^c≥x
   
2. x^cc=x^c
   
3. (x+y)^c=x^c+y^c
   
4. 0^c= 0
   

如果閉包運算元被選取為原始的，則內部運算元可以定義為x^l= ((x' )^c)'。所以內部代數的理論可以使用閉包運算元替代內部運算元來形式化，這種情況下，考慮的是形如 <S, ·, +, ', 0, 1,^c> 的閉包代數，這裡的 <S, ·, +, ', 0, 1 > 是布爾代數而 ^c 是滿足上述恆等式的閉包運算元。閉包代數和內部代數形成了對偶對，它們是“帶有運算元的布爾代數”的例證。關於這個主題(主要是波蘭拓撲學)的早期文獻涉及了閉包運算元，但是內部運算元的形式化最終成為標準。

開放和閉合元素

內部代數的元素被稱為開的，若且唯若x^l=x，開元素的補被稱為閉的並，這也等價於x^c=x。顯然，一個元素的內部總是開的而閉包總是閉的。

既開又閉的元素叫做閉開的。顯然，0 和 1 是閉開的。

閉元素的內部稱為正規開的，開元素的閉包稱為正規閉的。

內部代數稱為布爾的，若它的元素都是開的(因此是閉開的)。布爾內部代數可以同一於普通布爾代數，因為它們的內部和閉包運算元不提供有意義的額外結構。特殊情況是平凡內部代數類，它們是特徵化為恆等式 0 = 1 的單一元素的內部代數。

內部代數的態射

同態

內部代數作為代數結構的優點是有同態。給定兩個內部代數A和B，映射f:A→B是內部代數同態，若且唯若f是底層布爾代數A和B之間的同態，它還保持內部和閉包。所以:

• f(x^l) =f(x)^l；
  
• f(x^c) =f(x)^c。
  

拓撲態射

拓撲態射(topomorphism)是另一種重要的更一般性的在內部代數之間的態射。映射f:A→B是拓撲態射，若且唯若f是在底層布爾代數A和B上的同態，並且還保持A的開放和閉合元素。所以:

• 如果x在A中開放的，則f(x) 在B中是開放的；
  
• 如果x在A中閉合的，則f(x) 在B中是閉合的。
  

所有內部代數同態都是拓撲態射，當時不是所有拓撲態射都是內部代數同態。

元數學

Gregorczyk 證明了閉包代數的基本理論的不可決定性。