代數邊界

代數邊界即拓撲學意義下的邊界。在拓撲學中，拓撲空間 X 的子集 S 的邊界是從 S 和從 S 的外部都可以接近的點的集合。

基本介紹

• 中文名：代數邊界
• 外文名：algebraic boundary
• 學科：拓撲學
• 領域：數學

簡介

在拓撲學中，拓撲空間X的子集S的邊界是從S和從S的外部都可以接近的點的集合。更形式的說，它是S的閉包中的不屬於S的內部的點的集合。S的邊界的元素叫做S的邊界點。集合S的邊界的符號包括 bd(S)、fr(S) 和 ∂S。某些作者（比如 Willard 在General Topology中）使用術語“邊境”而不用邊界來試圖避免混淆於代數拓撲學中使用的邊界概念。

S的邊界的連通單元叫做S的邊界單元。

定義

拓撲空間的子集S的邊界（記為 ）有一些常用及等價的定義:

S的閉包減去S的內部：。

S的閉包和其補集的閉包的交集：。

是所有滿足以下條件的點x的集合：x的每個鄰域都包含至少一個點屬於S，且至少一個點不屬於S。這些點稱為S的邊界點。

性質

• 集合的邊界是閉集。
  
• p是某集合的邊界點，若且唯若所有p的鄰域包含至少一個點屬於該集合且至少一個點不屬於該集合。
  
• 某集合的邊界等於該集合的閉包和該集合的補集的閉包的交集。
  
• 某集合是閉集，若且唯若該集合的邊界在該集合中；某集合是開集，若且唯若該集合與其邊界不相交。
  
• 某集合的邊界等於其補集的邊界。
  
• 某集合的閉包等於該集合和其邊界的並集。
  
• 某集合的邊界為空，若且唯若該集合既是開集也是閉集(也就是閉開集)。
  

舉例

若 X=[0,5)，則 。

在R中，若 Ω=x+y≤ 1且Z=0，則 ∂Ω = Ω；但在R中，∂Ω = {(x,y) |x+y= 1}。所以，集合的邊界依賴其背景空間。