子域

設F是域P的非空子集，如果P的加法和乘法可看作F的加法和乖法，且對於這兩個代數運算，F也構成一個域，則稱F為P的一個子域或子體。例如，有理數域是實數域的一個子域， 而實數域又是複數域的一個子域。

基本介紹

• 中文名：子域
• 外文名：subfield
• 所屬學科：數學
• 相關概念：擴域
• 舉例：有理數域是實數域的一個子域

定義

設 是一個域，K是F的一個非空子集，如果 ，且 是域，則稱域K是域F的一個子域，域F是域K的一個擴域。

例1 全體有理數的集合Q、全體實數的集合R以及全體複數的集合C關於普通的加法和乘法均形成域。另外，對於任意的素數p， 關於普通的加法和乘法也形成域。而且Q是 的子域， 是R的子域，R是C的子域。

容易證明K是F的子域若且唯若 和 同時成立。如果一個域F'與另一個域F的某個子域K同構，則可以將域F'與域K等同，從而將域F'視為域F的一個子域。

相關定理

定理1

設域K是域F的一個子域，則域F的加法群 是子域K上的一個線性空間。

證明：取數乘運算為域F的乘法，則線性空間定義中的幾個條件都是自然成立的。根據此定理，可以將域F稱為子域K上的一個線性空間。

定義 設域K是域F的一個子域。若子域K上線性空間F的維數為m，則稱域F是域K的一個m次擴域，並稱此m維線性空間的每一個基 為域F關於域K的一個基，同時稱此線性空間的線性變換為域F關於域K的線性變換。

例2 每一個域 是該域F上的一個一維線性空間，每一個都是該線性空間的基。

例3 複數域C是實數域R上的一個二維線性空間，向量組 是一個基，這裡 為虛數單位。

應當指出，若K是F的子域，A是K上的一個m階方陣。如果A作為F上的方陣可逆，則其逆方陣必然也是K上的m階方陣。

定理2

設 是特徵為p的有限域，,K是F的一個非空子集，是F的子域若且唯若存在使

定理3

設是特徵為p的有限域，q是素數p的任意正整數次冪，。對於每一個，F有唯一的一個階子域，其中