加性範疇(additive category)亦稱加法範疇。是一種常用範疇。範疇是範疇論的基本概念之一。
例如，以一切集合作對象，以集合映射作態射，則得集合範疇Set(簡稱集範疇)。以一切拓撲空間作對象，以連續映射作態射，則得拓撲空間範疇Top。以一切環為對象，以環同態作為態射得環範疇Ring。類似地，可得群範疇Group，阿貝爾群範疇AG，環R上的左R模範疇RM等。
基本介紹
- 中文名：加性範疇
- 外文名：additive category
- 領域：數學
- 別稱：加法範疇
- 性質：常用範疇
- 學科：範疇論
概念,範疇,實例——阿貝爾群範疇,阿貝爾群,態射,同態,映射,
概念
加性範疇(additive category)亦稱加法範疇。是一種常用範疇。一個範疇C稱為加性範疇。若它滿足下述條件：
1.C有零對象.
2.對任何A，B∈C，Hom(A，B)為一個加法阿貝爾群.
3.態射合成滿足左、右分配律，即，若σ，σ′∈Hom(A，B)，τ，τ′∈Hom(B，C)，則
(τ+τ′)σ=τσ+τ′σ， τ(σ+σ′)=τσ+τσ′.
4.任何有限個A1，A2，…，An∈C，上積
必存在，其中條件4可換為
4′.對任何A，B∈C，上積AB必存在.
加性範疇最典型的例子是阿貝爾群範疇AG。在加性範疇中有限個對象必有積；加性範疇的對偶範疇仍為加性範疇；加性範疇中態射f為單態射的充分必要條件是kerf=0，f為滿態射的充分必要條件是coker f=0。
範疇
範疇是範疇論的基本概念之一。稱C是一個範疇，是指C滿足下述六點：
1.C有一個對象類{A，B，C，…}(不要求它是一個集合，即不要求它滿足集合論的公理，只要求能判別出是不是它的對象)，常記為ObjC或簡記C.
2.對C的任兩對象A，B，有一個確定的集合(可為空集)Hom(A，B)，其元素稱為由A到B的態射，記為f∈Hom(A，B)或f：A→B.
3.對給定的f∈Hom(A，B)與g∈Hom(B，C)有惟一的gf∈Hom(A，C)，稱為f與g的合成.
4.Hom(A，B)與Hom(C，D)有公共元是指A=C且B=D.
5.態射合成滿足結合律.
6.對C的任意對象A，Hom(A，A)至少有一個元素εA使對σ∈Hom(A，B)恆有σεA=σ=εBσ，稱εA為A的恆等態射(εB為B的恆等態射).
例如，以一切集合作對象，以集合映射作態射，則得集合範疇Set(簡稱集範疇)。以一切拓撲空間作對象，以連續映射作態射，則得拓撲空間範疇Top。以一切環為對象，以環同態作為態射得環範疇Ring。類似地，可得群範疇Group，阿貝爾群範疇AG，環R上的左R模範疇RM等。以自然數為對象，a|b(表示a整除b)時定義Hom(a，b)有惟一元素φab，ab時定義Hom(a，b)=(空集)，也得到一個範疇。一般地，對每個擬序集都可仿此定義範疇。
實例——阿貝爾群範疇
阿貝爾群範疇是一種特殊的加性範疇。因此具有更豐富的性質。一個加性範疇C稱C為阿貝爾範疇。若再滿足下述三條件：
1.任何態射f都有核ker(f)與上核coker(f).
2.任何單(滿)態射都是其上核(核)的核(上核).
3.任何態射σ都可分解為一個單態射η與一個滿態射π的合成σ=ηπ(稱為σ的標準分解式).
阿貝爾群範疇、環R上的R模範疇都是阿貝爾範疇。阿貝爾範疇具有加性範疇的一切性質。阿貝爾範疇的對偶範疇仍為阿貝爾範疇。阿貝爾範疇中既單且滿的態射是單位態射。阿貝爾範疇在同調代數及代數幾何中都是最常用的一類範疇。
阿貝爾群
阿貝爾群亦稱交換群。一種重要的群類。對於群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的運算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾群。由於阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換群，所以通常稱這類群為阿貝爾群。交換群的運算常用加法來表示，此時群的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負元)。用加法表示的交換群稱為加法群或加群。
態射
態射是範疇論的基本概念之一。通常可看成是同態與映射的推廣。
同態
設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有
設E與F為兩個么半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是么半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態， 而並不因此就是么半群的同態)。
設G為乘法群，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態. 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：
f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，
並且f將A的單位元變成B的單位元。
例如，設n為非零自然數;使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態.設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數). 稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。
例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基. 則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態.
同態的概念能用抽象的方式加以推廣。
映射
映射亦稱函式。數學的基本概念之一。也是一種特殊的關係。設G是從X到Y的關係，G的定義域D(G)為X，且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y的映射。即關係G為映射時，應滿足下列兩個條件：
1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).
2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).這個被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X).f(x)滿足：
1) f(x)∈Y.
2) G(x，f(x))成立(x∈X).
3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).
關係G常使用另一些記號：f：X→Y或XY.f與G的關係是y=f(x)(x∈X)，若且唯若G(x，y)成立.可取變域X中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變數。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變數。始集X稱為映射f的定義域。記為D(f)或dom(f)。終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f).Y中與X中的元素有關係G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f)。當y=f(x)時，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。對於AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象。記為f(A)。對於BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。
