基本介紹
簡介,定義,舉例,套用,性質,區別,雙射與勢,
簡介
設f是從集合A到集合B的映射，若f(A)=B，即B中任一元素b都是A中某元素的像，則稱f為A到B上的滿射；
若對A中任意兩個不同元素a(1)不等於a(2)，它們的像f<a(1)>不等於f<a(2)>，則稱f為A到B的單射；
若映射f既是單射，又是滿射，則稱映射f為A到B的“雙射”(或“一一映射”)。 函式為雙射若且唯若每個可能的像有且僅有一個變數與之對應。
函式f: A → B為雙射若且唯若對任意b∈B存在唯一a∈A滿足f(a) = b。
同一集合上的雙射構成一個對稱群。
映射函式定義
在集合論中，一個由集合X至集合Y的映射稱為雙射的，若對集合Y內的任意元素y，存在唯一一個集合X內的元素x，使得 y = f(x)。
換句話說，f為雙射的若其為兩集合間的一對一對應，亦即同時單射且滿射。
例如，由整數集合至的函式succ，其將每一個整數x連結至整數succ(x)=x+1，及另一函式sumdif，其將每一對實數(x,y)連結至sumdif(x,y) = (x + y, x − y)。
一雙射函式亦稱為置換。後者一般較常使用在X=Y時。以由X至Y的所有雙射組成的集合標記為XY.
三角函式圖像舉例
而對於函式y=x2+2，對於x∈R、y∈R的取值範圍內，對於任何x，都有唯一確定的y與其對應。但對於
y≠2，任何y都對應2個不同的x。這樣y=x^+2在x∈R、y∈R的取值範圍內，不是雙射函式。但對於x∈[0,+∞）、y∈[2,+∞)。對於任何x，都有唯一確定的y與之對應，而對於任何y，都有x=(y-2)^0.5，即唯一確定的x與之對應。因此它是一個雙射函式。
套用
雙射的原理是一組關係，在判別某一種想法在套用能否雙向的找到某一唯一對應的事物，理論上通常要判斷這種想法是否滿足雙射的關係。因為具體的實施這一想法的途徑我們是並不知道的，所以需要抽象出他們的關係，找到這個雙射，如果找不到，並且驗證這個雙射不存在，那么想法是不可能實現的。
性質
（1）一由實數R至R的函式f是雙射的若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
（2）設X為一集合，則由X至其本身的雙射函式，加上其複合函式(0)的運算，會形成一個群，一個X的對稱群，其標記為S(X)、SX或X!。
（4）若X和Y為具相同勢的有限集合，且f: X → Y，則下列三種說法是等價的：
f 為一雙射函式；
f 為一滿射函式；
f 為一單射函式。
區別
IoC的優點和缺點
IoC最大的好處是因為把對象生成放在了XML里定義，所以當我們需要換一個實現子類將會變成很簡單（一般這樣的對象都是實現於某種接口的），只要修改XML就可以了，這樣我們甚至可以實現對象的熱插撥（有點象USB接口和SCIS硬碟了）。
IoC最大的缺點是：（1）生成一個對象的步驟變複雜了（其實上操作上還是挺簡單的），對於不習慣這種方式的人，會覺得有些彆扭和不直觀。
（2）對象生成因為是使用反射編程，在效率上有些損耗。但相對於IoC提高的維護性和靈活性來說，這點損耗是微不足道的，除非某對象的生成對效率要求特別高。
（3）缺少IDE重構操作的支持，如果在Eclipse要對類改名，那么還需要去XML檔案里手工修改，這似乎是所有XML方式的缺憾所在。
