整數矩陣

整數矩陣(integer matrix)是在數論中有重要套用的一種矩陣，指元素a_ij(i，j=1，2，…，n)都是整數的n階矩陣A=(a_ij)，若n階整數矩陣A的行列式|A|=±1，則A稱為麼模整數矩陣，一個整數矩陣有逆整數矩陣，若且唯若這個矩陣是麼模整數矩陣。

基本介紹

• 中文名：整數矩陣
• 外文名：integer matrix
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：數論（矩陣）
• 簡介：元素都是整數的n階矩陣

定義

定義1 稱

為m行n列矩陣，或m×n矩陣，用A^(m×n)表示．如果m=n，則稱A為n級方陣，用A⁽ⁿ⁾或(a_nn)表示，其中a₁₁，a₂₂，…，a_mn都是整數。

相關概念及性質

定義21)二方陣A=(a_ij)，B=(b_ij)的和為：

A+B=(a_ij+b_ij).

2)設

矩陣A，B的乘積為

其中，i=1，…，m；j=1，…，l。

定義3 方陣A(=A⁽ⁿ⁾)中除去第i行第j列上的元素，但不變動其他元素位置所得(n-1)級方陣的行列式，稱為a_ij的餘子式；餘子式前面添加符號( -1)^i+j後,稱為代數餘子式，用A_ij表示。

定義4稱

為A=A⁽ⁿ⁾的伴隨矩陣。

定理1AA₀=A₀A =aI，其中a=|A|，I為單位矩陣。

定義5如果方陣A的行列式|A|=±1，則稱A為模方陣；如果|A|=1，則稱為正模方陣。

定理2全體模方陣成為一群；全體正模方陣也成為一群。

定理3全體模方陣所成的群，可由U₁,U₂,U₃的乘方與乘積表出，其中

定理4正模方陣所成的群M_n可由U₁,U₂的乘方與乘積表出。

定義6若有一模方陣U，使兩方陣A，B間關係A=UB,，則稱方陣B左結合於方陣A，並以A^L=B表示。

定理5任一方陣必左結合於如下形式的方陣

其中b_vv≥0,且若b_vv>0,則

0≤b_iv<b_vv，i>v.

定義7 形如(1)的方陣稱為左結合標準形。

定義8 對兩個矩陣A=A^(m,n)，B=B^(m,n)，若有兩個模方陣U=U^(m)。V=V⁽ⁿ⁾，使得：

A=UBV，

則稱A與B相似，記為A～B。

定理6 任一矩陣A=A^(m,n)，必與形如

或

的矩陣相似,其中d_i≥0。

定義9 形如(2)或(3)的矩陣，稱為相似標準形。

定理7 若A~B，則A內所有i行i列子行列式的最大公因數，與B內所有i行i列子行列式的最大公因數相等。

定理8 任一矩陣的相似標準形，一定是唯一的。

定理9 A~B的充分必要條件是A,B有相同的秩和相同的初等因子。

定義11 對於兩個方陣A,B，如有一方陣C使A=CB，則稱B為A的右因子，或B右除盡A,用B|A表示。

定義12 設A非奇異方陣，也非模方陣。若對A的任何分解式A=BC都有B或C是模方陣，則稱A為不可分解方陣或素方陣；不然，稱A為複合方陣。

定理11 一方陣為素方陣的充分必要條件是其行列式為素數。

定理12 任一複合方陣可以分解成有限多個素方陣的乘積，且其因子數等於其行列式的素因子數。

定義13 若一素方陣可以表為如下形式：

U^-1(1，...，1，p)U，

則此素方陣稱為標準素方陣，U是一模方陣。

定義14 對一非奇異方陣A，適合於

AUA₀≡0( mod |A|)

的模方陣U稱為A的伴隨模方陣，A₀是A的伴隨方陣，|A|表A的行列式的絕對值。

定理13 A的伴隨模方陣成一群。

定義15 A的伴隨模方陣所成的群，稱為A的伴隨模群。

定義16 如果方陣D為方陣A及B(A與B不同時為0)的右公因子，且A,B的任何右公因子都是D的右因子，則稱D為A，B的右最大公約。

定理14 不同時為0的兩個方陣A,B必有最大公約D，且存在方陣P及Q，使，

PA+QB=D.

定理15 兩個非奇異方陣A,B必有一最低公倍M存在，且M非奇異，而其他的最低公倍都形如UM，此處U為模方陣。