基本介紹
- 中文名：並集公理
- 外文名：axiom of union
- 特點：無可爭議的
- 分支：邏輯、數學和計算機科學
概念,特徵,策梅洛-弗倫克爾集合論,
概念
在Zermelo-Fraenkel公理的形式語言中，這個公理讀作：給定任何集合A，有著一個集合B使得，給定任何集合x，x∈B，若且唯若有一個集合y使得x∈y並且y∈A。
數學定義：任給一個集合X，都有一個恰好由X的元素的元素之全體所組成的集合
，即
特徵
並集公理實際上說的是，給定集合A，我們可以找到一個集合B，它的元素完全是A的元素的元素。根據外延公理這個集合B是唯一的，它叫做A（中元素）的並集，並表示為∪A，所以這個公理的本質是：一個集合（中元素）的並集是一個集合。
配對公理與並集公理一起蘊涵了對於任何兩個集合，都有一個集合恰好只包含這兩個集合的元素。樸素集合論中兩個集合的並集在這裡是這兩個集合的配對集合的並集，比如集合A={a}和集合B={b}，它們的對是{{a},{b}}，這個對的並集是{a,b}。
並集公理一般被認為是無可爭議的，它或它的等價公理出現在所有的集合論的公理化中。
注意沒有對應的交集公理。如果 A 是非空集合，則我們可以使用分離公理模式形成交集∩A，只需從A中選出一個元素（也可以取A的並集），而把P(z)設為“被A中所有集合包含”就行了，所以不需要單獨的交集公理。(如果A是空集，則嘗試如此形成A的交集是不被這些公理所允許的，如果這樣的集合存在，它將包含全集中所有的集合，而全集的概念對立於Zermelo-Fraenkel集合論。)
策梅洛-弗倫克爾集合論
（1）同一律（外延公理）（axiom of extensionality)：兩個集合相等的充分必要條件是它們具有相同的元素，即
（2）配對集公理（axiom of pairing）：任給兩個集合X和Y，都有一個恰好由它們組成的集合
，即
（3）並集公理（axiom of union）：任給一個集合X，都有一個恰好由X的元素的元素之全體所組成的集合，即
（5）無限集公理：存在一個滿足如下兩條要求（a）和（b）的集合X，
a、X含一個元素；
b、如果Y∈X，那么
。其中
即
（6）分解原理（asiom schema of separation)：即概括公理。
（7）映像存在原理（axiom schema of replacement）：設φ（x，y）是集合論語言的一個表達示。又設表達示φ（x，y）決定一種對應關係，也就是說，對於任意的集合 u ，最多存在一個集合v來滿足φ[u，v]所給出的對應要求。任給集合 X ，能夠與X中的某個元素 u 形成對應關係φ[u，v]的那些集合 v 組成一個集合 Y ，即
（8）∈極小原理（axiom of regularity，axiom of foundation）：任何一個非空集合必含有一個∈極小元素，也就是說，如果X中有一個元素，那么X中一定有一個元素都不在X之重的元素a，即
