外延公理

形式語言

自然語言描述：

對任何集合P和任何集合Q，如果任何集合X，X屬於P若且唯若X屬於Q，那么P等同Q。

內涵：

擁有完全相同元素的兩個集合是等同的。

說明：

在ZFC體系中，所有對象默認為集合，但集合的元素是否必須是集合併不會影響到公理化集合論體系。

要理解這個公理，注意上述陳述中方括弧內的子句簡單的聲稱了A和B有完全相同的成員。所以，這個公理實際上說的是兩個集合相等，若且唯若它們有完全相同的成員。它的本質是：

集合唯一的由它的成員來決定。

外延性公理可以同形式的概括陳述一起使用，這裡的P是不提及A或x的任何一元謂詞，來定義一個唯一集合A，它的成員完全是滿足謂詞P的集合。我們可以接著為A引入新的符號；普通數學中的定義，當其陳述簡化到純集合論術語的時候，就會像這樣起到定義的作用。

外延性公理一般被認為是無可爭議的，它或它的等價公理出現在所有可供選擇的集合論的公理化中。但是在某些情況下需要進行適當的修改。

上面給出的公理假定等號是謂詞邏輯的基本符號。某些公理化集合論的處置不做這個假定，從而把上述陳述不作為公理而是作為對等號的定義。那么必須把來自謂詞邏輯的平常的等式公理包含為關於這個被定義的符號的公理。多數等式的公理可以從這個定義得出；餘下的一個是

當A=B，A∈D若且唯若B∈D。

或：（代入定義）

當對所有C，C∈A若且唯若C∈B，那么對任意D，A∈D若且唯若B∈D。而它成為在這種情況下的外延性公理。

基本元素是自身不是集合的集合元素。在Zermelo-Fraenkel公理中沒有基本元素，但在某些其它的集合論的公理化中有它們。在有類型的邏輯中，基本元素可以被當作不同於集合的邏輯類型；在這種情況下，“B∈A"這個式子中，如果A是基本元素，則沒有意義，所以外延性公理只適用於集合。

在無類型邏輯中我們可以要求“B∈A"在A是基本元素的時候為假。在這種情況下，平常的外延性公理將使得所有基本元素等於空集，從而互相相等（！）。為了避免這種情況，我們可以修改外延性公理為只適用於非空集合，並把它讀為：

給定任何集合A和任何集合B，如果A是非空集合(就是說存在著A的一個成員x)，那么A和B是相等的，若且唯若它們有完全相同的成員。

另一種方法是，在無類型邏輯中可在A是基本元素的時候規定A自身是A的唯一的元素。儘管這個方式可以保持原來的外延性公理，但基礎公理卻需要調整。