配對公理

形式陳述

在Zermelo-Frankel公理的形式語言中，這個公理讀作：

給定任何集合x和任何集合y，有著一個集合A使得，給定任何集合z，z是A的成員，若且唯若z等於x或者z等於y。

這個公理實際說的是，給定兩個集合x和y，我們可以找到一個集合A，它的成員完全是x和y。我們可以使用外延公理證實這個集合A是唯一的。我們可以叫這個集合A為x和y的對（或無序對），並表示為{x,y}。所以這個公理的本質是：

任何兩個集合都有一個對。

{x,x}簡寫為{x}，叫做包含x的單元素集合。注意單元素集合是對的特殊情況。

配對公理還允許定義有序對。對於任何集合a和b，有序對定義為如下：

<a,b>={{a},{a,b}}

注意這個定義滿足條件

<a,b>=<c,d>若且唯若a=c且b=d。

有序的n-元組可以遞歸的定義為如下：

<a1,a2,...,an>=<a1,<a2,...,an>>，當n>2

配對公理一般被認為是無可爭議的，它或它的等價定理出現在任何可供選擇的集合論的公理化中。不過在Zermelo-Fraenkel集合論的標準公理化中，配對公理可以從冪集公理和替換公理模式中得出，所以它有時被省略。

與空集公理一起，配對公理可以一般化為如下模式：

給定任何有限數目的集合x1到xn，有一個集合A，它的成員完全是x1到xn。根據外延公理這個集合A再次是唯一的，並表示為 {x1,...,xn}。

當然，在沒有構造出一些集合所歸屬的（有限）集合時，我們不能嚴格地（在一條命題中同時）提及這些集合。所以，這不是一個單一的命題而是一個模式，對每個自然數n有一個單獨的陳述。

n=1時，化為x=y=x1的配對公理。

n=2時，化為x=x1而y=x2的配對公理。

n>2時，可以多次使用配對公理和並集公理來證明。

例如，要證明n=3的情況，使用配對公理三次，來生成對{x1,x2}，單元素集合{x3}，接著生成對{{x1,x2},{x3}}。使用並集公理生成想要的結果{x1,x2,x3}。我們可以擴展這個模式使之包括n=0，如果我們解釋這個情況為空集公理。

所以，你可以使用它為公理模式來替代空集公理和配對公理。但是人們通常單獨使用空集公理和配對公理，並把它證明為定理模式。注意接受這個模式為公理模式不會替代並集公理，在其他情況下（無限集合的情況）仍需要它。

另一個公理在空集公理成立的前提下蘊涵配對公理：

對任意集合x和（集合）y，存在集合A使z∈A若且唯若z∈x或z=y。

代{}入x並代a入y，我們得到A為{a}。接著代{a}入x 並代b入y，我們得到A為{a,b}。你可以用這種方式建造任何有限集合。它可以用來生成所有繼承有限集合而不使用並集公理。