在數學基礎中，馮·諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論（von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是設計生成同Zermelo-Fraenkel 集合論與選擇公理一起(ZFC)同樣結果的集合論公理系統，但只有有限數目的公理而不使用公理模式。
基本介紹
- 中文名：馮·諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論
- 外文名：von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG
- 套用領域：數學
- 本質：集合論公理系統
歷史發展,理論,公理化,公理模式,
歷史發展
首先由馮·諾伊曼在1920年代公式化，在1937年開始由保羅·博內斯修改，在1940年由哥德爾進一步簡化。
不象 ZFC，NBG 只有有限多個公理。Richard Montague 在1961年證明，不可能找到在邏輯上等價於 ZFC 的有限數目的公理；因此 NBG 的語言有能力談論真類同談論集合一樣，並且關於集合的陳述在 NBG 中是可證明的，若且唯若它在 ZFC 中是可證明的(就是說 NBG 是 ZFC 的保守擴展)。
理論
成員關係
α∈S
只定義在是集合而是集合或類的條件下。
集合的開發進行得非常類似於ZF。有一個謂詞“Rp”定義如下:
Rp（A，a）=∀x（x∈A<==>x∈α）
就是說，一個集合a表示（represent）一個類A，如果a的所有元素都是A的元素，反之亦然。有些類沒有表示，比如不包含自身的所有集合的類。這樣的類叫做真類。
這種系統的優點是提供了談論“大對象”的腳手架而不涉險悖論。在範疇論的某些開發中，比如，你把一個大範疇指示為其對象的蒐集和態射的蒐集可以被表示為真類的範疇。在另一方面，小範疇是其中的對象和態射“適合”於集合的範疇。因此我們可以容易的談論“所有小範疇的範疇”而沒有麻煩。當然這是個大範疇。
公理化
在本節中提供一個NBG的公理化（實際上有兩個不同的公理化，第二個精緻了第一個）。比較於Morse-Kelley集合論的公理化。
我把NBG看作兩種類（two-sorted）的理論，小寫字母充當集合變數而大寫字母充當類變數。成員關係的陳述需要有如下形式之一： x∈Y或 x∈y，而等式的陳述需要有如下形式之一 x=Y 或 x=y 。通過符號濫用，我們把(∀x，x∈α←→x∈A）寫為a=A。
這個理論也可以被表達為單種類（one-sorted）的理論，通過如下定義來區分集合和類：一個類是集合，如果它是另一個類的元素。
公理如下，不帶類字樣的公理是關於集合的。
1.類外延性公理
2.外延性公理
3.類概括公理(模式)
4.配對公理
5.大小限制公理
6.並集公理
7.冪集公理
8.無窮公理
9.類基礎(正規)公理
公理模式
NBG 的一個吸引人但使它的形式公理化有些神秘的特徵是類概括公理模式等價於它的實例的有限數目的合取。這裡我們開發了這樣的有限公理化，但是不保證它完全同於正式公理化。我們通過考慮公式的結構來開發這種公理化。
類概括公理(模式)主要包含以下幾條公理：
1.集合公理
2.補類公理
3.交類公理
4.積類公理
5.類逆轉公理
6.類結合公理
7.類值域公理
8.類成員公理
9.類對角公理
這個理論的標誌特徵是類和集合的分離。類可以非常大 — 實際上你可以談論“所有集合的類”。但是有一個結構性限制防止你推測“所有類的類”或“所有集合的集合”。
