新基礎集合論:概述,注意事項,TST公理,蒯因集合論,NF(U) 如何避免集合論悖

在數理邏輯中，新基礎集合論(NF)是公理化集合論的一種，由蒯因構想出來作為對英國哲學家羅素和其老師懷特海的巨著《數學原理》中邏輯類型論的簡化。蒯因 1937 年於《數理邏輯的新基礎》一文中首次提及NF（此即其名稱的由來）。請注意，此條目大多是在談論 NFU，這是Jensen於1969年所提出，並由Holmes於1998年闡述的一重要變體。

基本介紹

中文名：新基礎集合論
外文名：NF
含義：公理化集合論的一種
注意事項：無法顯示部分數學和邏輯符號
外延性：帶有相同成員相同類型集合是相等

概述,注意事項,TST公理,蒯因集合論,NF(U) 如何避免集合論悖論,羅素悖論,康托爾悖論,布拉利-福爾蒂悖論,序類型的引理,新基礎集合論的缺陷及修正,

概述

注意事項

TST公理

外延性：帶有相同成員的相同(正數)類型的集合是相等的；

概括公理模式，也就是：如果Φ（x^n）是公式，則集合{x^n | Φ（x^n）}^(n+1)存在。換句話說，給定任何公式Φ（x^n），存在集合A^(n+1)使得∀x^n∃A^(n+1) [x^n∈A^(n+1) ↔ Φ（x^n）]為真。

這個類型論比起羅素和懷特海的《數學原理》首次發表的邏輯類型論簡單了許多，它包括其參數不必然都有同樣類型的關係類型。在1914年，諾伯特·維納展示了如何把有序對編碼為集合的集合。這使得以這裡描述的集合層次的方式消除了關係類型。

蒯因集合論

公理和層化

新基礎(NF)是通過放棄TST的類型區別而獲得的。NF的公理有：

外延性：有相同元素的兩個對象是同一個對象；

概括模式：所有TST的概括實例，但去掉了類型索引(並且不用介入在變數之間新的同一性)。

通過約定，NF的概括模式是使用層化公式的概念而陳述的，而不直接提及類型。一個公式Φ被稱為是層化的，如果存在從語法片段到自然數的一個函式f，使得對於任何Φ的原子子公式x∈y有f(y)=f(x)+1，而對於任何Φ的原子子公式x=y，有f(x)=f(y)。概括接著變成：

對於每個層化公式Φ存在{x|Φ}。

甚至在層化概念內隱含的對類型的間接提及也可以消除。Hailperin在1944年證實了概括等價於它的實例的有限合取，所以NF可以有限的公理化，而不提及類型的概念。

對於樸素集合論概括好像是不自洽的，但是在這裡不是。例如，不可能的羅素類{x|x￠x}不是NF集合，因為x￠x不能被層化。

有序對

關係和函式在TST(與NF和NFU)中以通常的方式定義為有序對。首先由Kuratowski在1921年提議的有序對常用的定義對於NF和相關理論有個嚴重缺陷：結果的有序對必定有比它的參數(它的左和右投影)的類型高2的類型。所以用途是決定分層的函式有比它的域的成員高3的類型。

如果能以其類型是同它的參數一樣的類型的方式定義對(導致一個類型-齊平有序對)，則關係或函式有隻比它的域的成員的類型高1的類型。所以NF和相關理論通常採用蒯因的有序對的集合論定義，它生成類型的類型-齊平的有序對。Holmes(1998)把有序對與它的左和右投影接受為基本的。幸運的是，有序對是否通過的定義或通過假定(就是接受為基本的)而是類型-齊平，通常是不重要的。

類型-級別有序對的存在蘊涵了“無窮”，而NFU+“無窮”解釋了NFU+“存在著類型齊平的有序對”(它們不是同樣的理論，但是區別無關緊要)。反過來，NFU+“無窮”+“選擇”證明了類型-齊平有序對的存在。

有用的大集合的可容納性

NF (和NFU+“無窮”+“選擇”，下面描述並已知是相容的)允許構造ZFC和它的真擴展因為“太大”而不允許的兩種集合(某些集合論在真類的名義下接受這些實體)：

全集V：因為 x = x 是層化公式，通過概括存在全集V={x|x=x}。直接的推論是所有集合都有補集，而在NF下的整個集合論全集有一個布爾結構。

基數和序數：在NF(和TST)中，存在n個元素的所有集合的集合(這裡循環性只是外觀上的)。所以弗雷格的基數定義在NF和NFU中可行：基數是集合在等勢關係下的等價類：集合 A 和 B 是等勢的，如果存在它們之間的雙射，在這種情況下我們寫為A~B。類似的，序數是良序集合在相似關係下的等價類。

NF(U) 如何避免集合論悖論

NF 清除了三個周知的集合論悖論，即：“羅素悖論”、“康托爾悖論”和“布拉利-福爾蒂悖論”NFU是(相對)相容的理論也避免了這些悖論，增強了我們在這個事實上的信心。

對這三個集合論悖論的解釋如下：

羅素悖論

x￠x不是層化公式，所以{x|x￠x}的存在不被任何概括的實例所斷言。蒯因構造NF的時候大概最關注於這個悖論。

康托爾悖論

關於最大基數的康托爾悖論利用了康托爾定理對全集的套用。康托爾定理聲稱(假定 ZFC)任何集合的A的冪集P(A)>A[沒有從P(A)到A的單射函式(一一映射)]。當然有從P(V)到V的單射，如果V是全集的話！解決這個問題需要我們觀察到 |A|<|P(A)| 在類型論中沒有意義：P(A)的類型高1於A的類型。正確的有類型版本(它是與在ZF中工作的最初形式的康托爾定理本質上同樣道理的類型論中的定理)是 |P1(A)|<|P(A)|，這裡的P1(A)是A的一個元素的子集的集合。我們感興趣的這個定理的特殊實例是 |P1(V)|<|P(V)|：一個元素的集合們少於集合們(因此一個元素的集合們少於全體對象，如果我們在NFU中的話)。從全集到這些一個元素集合明顯的雙射x→{x}不是一個集合；它不是集合是因為它的定義是非層化的。注意在所有已知的NFU的模型中 |P1(V)|<|P(V)|<<|V| 都成立；“選擇”允許我們不只證明有基本元素而且在 |P(V)| 和 |V| 之間有很多基數。　我們現在介入某些有用的概念。集合A滿足直覺上吸引人的 |A|=|P1(A)| 就被稱為康托爾式的：康托爾式集合滿足通常形式的康托爾定理。集合A滿足進一步條件（x→{x}）ΓA，即單元素集合映射於A的限制，則不僅僅是康托爾式的，而且是強康托爾式的。

布拉利-福爾蒂悖論

下面是關於最大序數的布拉利-福爾蒂悖論。我們定義(跟從樸素集合論)序數是良序排序在相似性下的等價類。在序數上有一個明顯的自然的良序排序；因為它是良序排序所以它屬於一個序數Ω。(通過超限歸納法)可直接證明在小於一個給定序數α的序數們上的自然次序的序類型是α自身。但是這意味著Ω是小於Ω 的序數們的序類型，因此它嚴格小於所有序數的序類型——但是通過定義，後者是Ω自身！

在 NF(U) 中對這個悖論的解決開始於觀察到：在小於α的序數們上的自然次序的序類型的類型比α的類型高。

因此類型齊平有序對的類型比它的參數的類型高1，而常規的Kuratowski有序對高3。

對於任何序類型α，我們可以定義比α的類型高1的序類型：如果 W∈α，則T(α)是次序W^t={（{x},{y}）| xWy}的序類型。T運算的煩瑣只是外觀上的；可以輕易的證明T是在序數們上的嚴格的單調(序保持)運算。

序類型的引理

我們可以用層化的方式重申關於序類型的引理：在小於α的序數們上的自然次序的序類型是T^2(α)或T^4(α)，依賴於使用哪個有序對定義(我們在下文中假定類型齊平有序對)。

從此我們可演繹出：在小於Ω的序數們上的序類型是T^2(Ω)，從它我們演繹出T^2(Ω)<Ω。因此T運算不是個函式；我們不能有從序數到序數的嚴格單調集合映射，它向下映射一個序數！因為T是單調的，我們有 Ω>T^2(α)>T^4(α)···，在序數們中的“遞減序列”不能是集合。

某些人已經斷言這個結果證實了沒有NF(U)的模型是“標準”的，因此在任何NFU的模型中序數們外在的不是良序的。我們不接受這種立場，而我們注意到還有一個NFU的定理，任何NFU的集合模型都有非良序的“序數”；NFU推不出全集V是NFU的模型，儘管V是集合，因為成員關係不是集合關係。

新基礎集合論的缺陷及修正

蒯因在 1940 年第一版的《數理邏輯》的集合論中，結合了von Neumann-Bernays-Godel Set Theory（馮·諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論）的真類於NF中，並為真類包括了一個無限制概括的公理模式。在1942年，J.Barkley Rosser 證明了蒯因的集合論遭受Burali-Forti悖論。在1950年，蒯因的學生王浩（Hao Wang）展示了如何修正蒯因的公理來避免這個問題，蒯因在 1951 年第二和最終版本的《數理邏輯》中包括了結果的公理化。

新基礎集合論