空集公理

在集合論中，空集公理是 Zermelo-Fraenkel 集合論的公理之一。常常用它和替換公理模式證明分離公理模式（證明需要排中律），而不把後者當作一條公理。後者和“至少存在一個集合”的假設一起又能推出空集公理。它的表述為：“存在一個集合x，它沒有任何元素”。

基本介紹

• 中文名：空集公理
• 外文名：axiom of empty set
• 套用學科：數學
• 套用領域：集合論
• 相關術語：替換公理模式
• 屬於：Zermelo-Fraenkel 集合論

形式陳述

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式語言中，這個公理讀做：

換句話說:

有著一個集合使得沒有集合是它的元素。

解釋

我們可以使用外延公理來證明只有一個這樣的集合。因為它是唯一的，我們可以簡單名之為空集，並將其標記為 {} 或 。因此這個公理的本質是：

• 存在一個空集。
  

空集公理一般被認為是無可爭議的，它或它的等價命題出現在任何可替代的集合論的公理化中。

在 ZF 的某些陳述版本中，空集公理實際上在無窮公理中是重複的。換句話說，有不預設空集存在的另一種公理版本。還有，以一常量符號表示空集的話，藉此可以把其他 ZF 公理重寫成更簡潔的版本；那么無窮公理也會用到這個符號而不要求它是空的，儘管需要空集公理來表明它實際上是空的。

而且，在那些不包含無窮集合的集合論中，空集公理仍是需要的。就是說，使用分離公理模式，聲稱任何集合存在的任何公理都蘊涵空集公理。

定義

空集公理是集合論的ZF公理系統中的一條公理，常常用它和替換公理模式證明分離公理模式（證明需要排中律），而不把後者當作一條公理。後者和“至少存在一個集合”的假設一起又能推出空集公理。它的表述為：“存在一個集合x，它沒有任何元素”。

其實，空集公理通常在無窮公理中被重複了，後者構造了一個集合，其中有一元素為空集。但是，有些公理化中，無窮公理所構造的集合併不被要求包含空集（例如包含一個任意元素），此時空集公理是必要的。有時可能要研究有限的集合模型，這時無窮公理被去除，然而空集公理仍然有效。

空集公理在替換公理模式證明分離公理模式時，起到了輔助的作用，只有所求集合是空集時，因為按通常的替換公理模式的描述無法證明，才套用空集公理。如果替換公理模式不要求其中的F(z)對任意z有定義，而是要求有定義時才考慮F(z)在y中的問題，那么可以單獨證明分離公理模式，而後者在任意一種無窮公理的形式（只要保證集合存在）下可以推出空集公理。