策梅羅集合論

策梅羅集合論，有上百種等價形式，已套用於幾乎每一個數學分支，成為一個獨立的研究領域。

基本介紹

• 中文名：策梅羅集合論
• 提出者：策梅洛
• 提出時間：1904年
• 套用學科：數學

策梅洛簡介

策梅洛（1871～1953） Zermelo, Ernst Friedrich Ferdinand

生平

德國數學家。公理集合論的主要開創者之一。1871年7月27日生於柏林，1953年5月21日卒於弗賴堡。1889年大學畢業後，研究數學、物理和哲學，1894年獲博士學位，1899年執教於哥廷根。1905年為教授。1926年為弗賴堡大學榮譽教授，1935年因駁斥阿道夫·希特勒的統治與該校失去聯繫，直到第二次世界大戰後的1946年才被該校承認復職。

主要貢獻

策梅洛的主要貢獻是集合論基礎，1904年發表的論文不僅解決了G.康托爾的良序問題，而且給出了選擇公理（也稱為策梅洛公理），它有上百種等價形式，已套用於幾乎每一個數學分支，成為一個獨立的研究領域。他在1908年建立了第一個集合論公理系統，給出了外延、空集合、並集合、冪集合、分離、無窮與選擇等公理，A.A.弗倫克爾和A.T.斯科朗又作了改進，增加了替換公理，J.馮·諾伊曼進一步提出了正則公理，後經策梅洛的總結構成了著名的集合論公理系統ZF，形成了公理集合論的主要基礎。策梅洛對物理、數學套用一直有濃厚的興趣，在變分法、氣體運動學等方面也有研究。

策梅洛集合論

Zermelo 集合論，設立自恩斯特·策梅洛在1908年的重要論文，它是現代集合論的祖先。它與它的後代有特定的差別，經常被誤解並經常被誤引用。本文架設最初的公理，帶有最初的文本(從德文譯成了英文)和編號。

Zermelo集合論的公理

公理 I。外延性公理 (Axiom der Bestimmtheit)：“如果一個集合 M 的所有元素也是 N 的元素，反之亦然 ... 則 M = N。簡要的說，所有集合確定自它的元素”。

公理 II。基本集合公理(Axiom der Elementarmengen)：“存在(假想的)集合，空集合 ，它根本不包含元素。如果 a 是域的任何元素，存在一個集合 {a} 包含 a 並只包含 a 作為元素。如果 a 和 b 是域的任何兩個元素，總是存在一個集合 {a, b} 包含 a 和 b 作為元素，而不包含不同於它們二者的對象 x”。參見空集公理、對集公理。

公理 III。分離公理 (Axiom der Aussonderung)：“只要命題函式 –(x) 對於一個集合 M 的所有元素是明確的，則 M 擁有一個子集 M' 精確的包含 M 的使 –(x) 為真的那些元素作為元素”。

公理 IV。冪集公理 (Axiom der Potenzmenge)：“對於所有集合 T 都對應著一個集合 T' ，T 的冪集，精確的包含 T 的所有子集作為元素”。

公理 V。並集公理 (Axiom der Vereinigung)：“對於所有集合 T 都對應著一個集合 ∪T，T 的並集，精確的包含 T 的元素們的所有元素作為元素”。

公理 VI。選擇公理 (Axiom der Auswahl)：“如果 T 是其元素都是不同於 並且相互無交的集合們的集合，它的並集 ∪T 包含至少一個子集 S1 有一個且只有一個元素公共於 T 的每個元素”。

公理 VII。無窮公理 (Axiom des Unendlichen)：“在域中存在至少一個集合 Z 包含空集作為一個元素，並且對於它的每個元素 a 都對應著形如 {a} 的進一步元素而構成的，換句話說，對於它的每個元素 a 它也包含對應的集合 {a} 作為元素”。

與標準集合論的聯繫

公認的標準集合論是 Zermelo-Fraenkel 集合論。其中沒有“基本集合公理”的完全對應者。(後來證實單元素集合可以從所謂的“對集公理”推導出來。如果 a 存在，a 和 a 存在，所以 {a,a} 存在。通過外延性 {a,a} = {a}。) 空集公理已經被無窮公理所假定，現在不被包括為它的一部分了。

這裡的公理不包括正規公理和替代公理。它們是 Thoralf Skolem 在1922年基於同一年早些時候 Adolf Fraenkel 的工作而增加的。

在現代 ZFC 系統中，在分離公理中提及的“命題函式”被解釋為“可用帶有參數的一階公式定義的任何性質”。“一階公式”的概念在 1904 年 Zermelo 發表他的公理的時候是未知的，而他後來拒絕這種解釋因為太受限制了。

在通常的 ZFC 集合論的累積層次 Vα (對於序數 α)中，對於大於第一個無限序數 ω 的極限序數 α 的集合 Vα 之一形成了 Zermelo 集合論的模型。所以 Zermelo 集合論的相容性是 ZFC 集合論的一個定理。Zermelo 的公理不允許很多無限基數的存在；例如，在 Zermelo 集合論的模型 Vω+ω 中對於有限序數 α 只有無限基數 。

無窮公理現在通常被修改為斷言第一個無限馮·諾伊曼序數 的存在性；有意思的是觀察到最初的 Zermelo 公理不能證明這個集合的存在，而修改後的 Zermelo 公理也不能證明 Zermelo 的無窮公理。Zermelo 的公理(最初的或修改後的)不能證明 作為一個集合的存在性，也不能證明帶有無限標定(index)的累積層次的任何階的存在性。

Zermelo論文的目標

介紹聲稱了集合論學科的真正存在性，“它好像受到從它的原理推導出的特定矛盾或“自相矛盾”的威脅 – 這些原理必然支配我們的思維 – 而完全滿意的解決似乎仍未找到。”Zermelo 當然指的是羅素悖論。

他說希望展示康托爾和戴德金的最初理論如何被簡約到很少的定義和一些原理或公理。他說他仍未能夠證明這些公理是相容的。

分離公理

Zermelo 註解他的系統中的公理 III 負責消除悖論。它不同於康托爾最初的定義。

集合不能用任何任意的邏輯上可定義的概念來獨立的定義。它們必須被“分離”為已經“給出”的集合的子集。他說這消除了矛盾性的想法如“所有集合的集合”或“所有序數的集合”。

康托爾定理

Zermelo 的論文因第一次提及康托爾定理而著名。它嚴格的憑藉了集合論的概念，因此不完全同於最初的康托爾對角論證法。