內模型法(method of inner model)是集合論相對相容性證明的基本方法之一。設Σ1，Σ2為集合論語言中的兩個公式集，M為Σ1的一個模型，若存在公式A(x)，使N={x|x∈M，A(x)}為Σ2的模型，則稱N為M的內模型。假定Σ1相容且已知Σ1有模型M，若能在Σ1下證明存在M的一個內模型N，使N為Σ2的模型，則就證明了Σ2對於Σ1相對相容，通常把這種相對相容性證明方法稱為內模型法。美籍匈牙利數學家馮·諾伊曼(J.von Neumann)於1929年最先使用內模型法證明基礎公理的相容性，美籍奧地利數學家哥德爾於1938年證明連續統假設與選擇公理的相容性時也是採用內模型法。1951年至1953年，謝潑德森(J.C.Shepherdson)連續發表三篇論文詳細闡述了內模型方法，他指出，對可傳模型而言，不能用內模型方法證明連續統假說的獨立性。美國數學家科恩(P.J.Cohen)於1963年通過對內模型方法的局限性分析，發明了相容性與獨立性證明的外模型方法，即力迫法。
基本介紹
- 中文名：內模型法
- 外文名：method of inner model
- 所屬學科：數學
- 相關問題：數理邏輯(公理集合論)
- 相關人物：馮·諾伊曼，哥德爾，謝潑德森等
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基本介紹
內模型法是從已知的一個模型M出發，來定義M的一個子模型
，使得滿足ZF的一些公理或者ZF以外的一些公理。公理集合論的一個著名成果就是1938年K.哥德爾所給出的
外模型法(即力迫法)是P.J.科恩1963年所創，科恩據此而證明了CH的相對於ZF的獨立性。排列模型的想法始於弗倫克爾，當時他是用來證明
及一些弱選擇公理的相對協調性，適用於有原子(本元)的集合論。迭經A.莫斯托夫斯基、斯派克等人的改進而形成FMS方法，其與外模型法相結合即可構成對稱模型法。
內模型法與連續統假設
連續統假設與廣義連續統假設是否成立?如果成立，如何證明，這曾是集合論中的一個大問題。希爾伯特在1900年的國際數學家大會上提出的23個未解決的數學問題，作為今後數學家研究的方向，其中第一個問題便是：求證連續統假設。
因此，連續統假設以及選擇公理的研究，便是集合論中兩個最大的問題，是人們注意的中心。在很長的時間內一直未能得到解決。
1938年哥德爾首先證明了，這兩命題與集合論中別的公理並沒有矛盾，亦即：如果上述集合論的公理系統(刪去選擇公理)不發生矛盾，那么添入選擇公理以及廣義連續統假設以後，所得的公理系統亦沒有矛盾。
這是一個大突破，因為長期以來，人們對選擇公理一直懷有戒心，能夠不用它便不使用它；萬不得已時，只好使用，但亦標明在證明中已經使用了選擇公理，人們這樣做，是因為萬一有一天證明了選擇公理不合用，可以隨時拋棄它，而沒有使用它的部分便可以很安然地保存下來了。經過哥德爾的證明，人們放心了，至少對選擇公理不抱敵意的人可以放心了，只要別的部分沒有問題，那么選擇公理亦是沒有問題的。
哥德爾的證明方法大體如下：如果別的公理沒有矛盾，那么可以作出一個模型，在其中別的公理是成立的。在這個模型中，可以發展序數論。於是，可以按照一定的辦法作出足夠多的序數(良序集)。然後，我們把這些序數的全體作成一個新模型，在這個新模型中，不但集合論的別的公理繼續成立，而且選擇公理(甚至於很強的選擇公理，所謂全局選擇公理)成立，廣義連續統假設亦成立。既然有一模型(新模型)滿足這些公理，那么它們當然是不矛盾的了。
哥德爾的方法叫做內模型法，其方法是(假設某些公理不矛盾)先造出一個模型，滿足某些公理，再對這個模型加些限制，從而得出一個更小的模型(內模型)，它不但滿足原來的公理而且還滿足一些新公理，因而證明了，把這些新公理添到原來的公理去時，只要原來的公理沒有矛盾，那么添入後亦不會發生矛盾。
但是，連續統假設乃至於選擇公理，能夠不能夠由別的集合論公理推出來呢?這正是康託兒原來的想法，他宣稱他已經推出了連續統假設，不日即將發表，後來一直沒有發表，大概他知道他原來所作的證明不完整之故。
1963年，科恩(P.J.Cohen)證明了，由集合論中別的公理推不出選擇公理，別的公理加入選擇公理後推不出連續統假設，加入連續統假設後仍推不出廣義連續統假設。換言之，它們都是推不出來的，亦即把它們的否定加入以後，是不會發生矛盾的。
科恩詳細地論述了，要證明選擇公理和連續統假設的獨立性，是不能使用內模型法的，必須使用一種新的方法，叫做力迫法。力迫法的理論比較艱深，我們這裡就不多介紹了，只是指出，力迫法是一個很重要的方法，利用它，不但證明了選擇公理和(廣義)連續統假設是獨立於別的集合論公理的，而且數學上好些獨立性問題，以前長久以來一直未能解決的，藉助於力迫法後，也一一得到了解決(總共有五、六十個問題之多)。可以說，力迫論的出現，是數理邏輯(尤其是集合論)的一個重要的進步。後來，力迫論又有新發展，出現了各種力迫論，固有力迫論，疊代力迫論等等，都受到人們的注意。
根據哥德爾與科恩的兩個結果，可以知道，在集合論別的公理之上，加入選擇公理或其否定，可以分別得到一個不矛盾的公理系統，加入連續統假設或其否定，亦可以分別得到一個不矛盾的公理系統。因此，集合論類似於幾何學，在絕對幾何的公理之上，加入歐幾里得平行公理或其否定，可以分別得到一個不矛盾的公理系統，那便是歐幾里得幾何及非歐幾里得幾何。
公理集合論
公理集合論(axiomatic settheory)是數理邏輯的主要分支之一，是用公理化方法處理樸素集合論的內容的理論，更重要的，是研究集合論的元數學性質——集合論的模型、各公理的關係、各系統之間的關係、各種不可判定語句，以及集合論公理化過程中所提出的種種新方法和新問題的理論。
1908年策梅羅提出了第一個集合論公理系統，旨在避免集合論中的悖論，20年代弗倫克爾和斯科朗加以改進和補充，得到常用的策梅羅-弗倫克爾公理系統，簡記為
。這是一個建立在有等詞和屬於關係的一階謂詞演算之上的形式系統。它的非邏輯公理有：外延公理、空集公理、無序對公理、並集公理、冪集公理、替換公理模式、正則公理。如果另加選擇公理(
)則所得到的公理系統簡記
。
已經證明，對於發展集合論是足夠的，它能避免已知的集合論悖論。並在數學基礎研究中提供一種方便的語言和工具。在中，幾乎所有的數學概念都能用集合論語言表達。數學定理也大都可以在系統內得到形式證明。因而作為整個數學的基礎，是完備的。數學的無矛盾性可歸結為的無矛盾性。 ·
由哥德爾不完全性定理可知，如果是無矛盾的，則在中不能證明自身的無矛盾性。所以，在公理集合論中只考慮相對無矛盾性問題，解決的方法是構造模型。常用三種方法：內模型法，外模型法(力迫方法)，對稱模型法。1938年，哥德爾證明了
對於的相對無矛盾性，用的就是內模型法。1963年，科恩創立外模型法，證明了相對於的獨立性。
