力迫法是公理集合論研究中構造擴充模型的一種重要方法，它是科恩在1963年證明連續統假設的獨立性（實際是證明連續統假設的否定與ZF公理的協調性）而創立的。它從一種可構成模型M和相應的形式語言L出發使用附加於L的一組形式符號作為待定的ω子集簇G，獲得L的一擴充語言L*，從而利用在M中建立的力迫關係確定非特殊的集合的集合簇G，然後從G出發，使用M的構造過程中確定的運算和相應的疊代過程獲得模型M(G)。科恩運用力迫法證明選擇公理和連續統假設的相對獨立性，接著人們利用力迫法證明了一大批重要的數學命題的協調性和獨立性問題。1965年沙拉維和斯考特等人又把這一方法和布爾值模型方法相結合獲得力迫法的較為方便的變形。
基本介紹
簡介,一般形式,基本概要,套用,
簡介
在集合論中，力迫法是科恩（P.Cohen）發明的一種強有力的技術，用來證明集合論中命題的相容性和獨立性。科恩於1962年首次利用力迫法證明了選擇公理相對於ZF的獨立性和連續統假設相對於ZFC的獨立性。因為這一結果，科恩於1963年獲得菲爾茲獎。後來經過索洛韋和斯科特（D. Scott）等的大量工作，力迫法得以簡化並成為一種可以得到廣泛套用的方法。
力迫法在數理邏輯以及其他數學分支中也以不同的方式存在。如在可計算性理論（也稱遞歸論）中力迫法早在科恩的工作之前就存在。在拓撲學與描述集合論中，力迫法通常以更為傳統的形式出現，如貝爾綱論證（Bair categoty argument)或組合型式論證。
一般形式
力迫的目的通常是將集合論全域V作一次擴張到一個更大的域V*。因為V*包含更多的集合，它的某些性質會發生改變。例如，如果V*包含了極多新的實數，則連續統假設就會在V*中不成立。力迫擴張（forcing extension）數通過考慮V中一個偏序（P，≤），並在V上添加P的一個泛型超濾子G來實現的。
基本概要
在力迫法中，
（1）有一個集合全域V中依據某種選定的帶有最大元的偏序ℙ=（P，≤）。這一偏序通常稱為一個力迫概念（forcing notion），力迫概念ℙ中的元素被稱為力迫條件；ℙ中有最大元通常被記為 1；如果 p 和 q 為兩個力迫條件且p ≤ q，則通常稱為 p 強於（stronger than）q；
（2）以集合全域V為基礎，利用這個偏序集合引進一種力迫語言（forcing language）；
（3）在力迫條件和力迫語言的表達式之間定義一種可以在集合全域V中判定成立與否的力迫關係（forcing relation）記成╟，讀作力迫）p╟φ，其中p是一個力迫條件，φ是力迫語言中的一個表達式；
（4）定義力迫概念P在集合全域V上的泛型超濾子的概念；
（5）定義集合全域 V 由泛型超濾子 G 誘導出來的泛型擴張 V[G] 以及力迫語言表達式在 V[G] 中的語義解釋。
上述五條構成力迫方法的基本概要。這裡，ℙ上的一個泛型超濾子（generic ultrafiltet）[為了簡便起見，泛型超濾子通常也簡稱為泛型濾子（generic filter）]或泛型集，G是P上具有以下性質的非空真子集：
（1）若 p ≤ q 且 p ∈ G，則q∈G；
（2）若p，q ∈ G ，則存在 r ∈ G 使得 r ≤ p且 r ≤ q ；
（3）（泛型性質）對任意ℙ的稠密子集D（即 p ∈ P 蘊含存在 q ∈ D 使得 q ≤ p），都有G ∩ D ≠ Ø。
不難看出，滿足以上泛型性質的濾子G 不可能存在於 V 中。因此，當 V 和 G 結合起來而形成一個新的集合全域V*=V[G]時，V[G] 是 V 的一個真正的擴張。稱為 V 的一個泛型擴張（generic extension）。泛型擴張 V[G]與原有的集合全域 V 之間有以下十分關鍵的關聯：設 p 為一個力迫條件，φ 為力迫語言中的一個句子，那么必有V[G]╞φ 若且唯若存在 p ∈ G使得V╞p╟φ。
這條性質通常被稱為力迫定理（forcing theorem）。力迫定理使得泛型擴張V[G]的性質完全對應於V中關於力迫關係的原有性質，從而將V[G]中性質的判讀問題轉化為在V中關於所對應的力迫關係的判斷問題。這一點是力迫方法的核心內涵。
套用
力迫法可以用於任何滿足ZF(甚至比ZF弱的公理系統) 的內模型或集合模型。在這些套用中力迫概念和力迫關係所在的初始模型稱為基礎模型( ground model )，或是底層模型。如果基礎模型M是可數的，則可以在V中找到M 之上的一個泛型集，從而M 的泛型擴張M[G] 也是V中的集合。從哲學角度講，有時，或對有些人，思考可數基礎模型的泛型擴張會比思考集合論全域的泛型擴張容易一些。
另一個使力迫擴張更容易接受的途徑是通過布爾值模型(Boolean valued model)。在這個框架下，每一個力迫概念對應一個完備布爾代數(complete Boolean algebra)，而每一個力迫條件則被看成是一個布爾值 (Boolean value)。力迫關係的建立等同於力迫語言句子布爾值的計算。這樣，力迫擴張被看成是發生在集合論全域內的事件。在這個框架下，力迫擴張不完全等同於泛型擴張。這時，泛型集(泛型超濾子) 等同於一種將布爾值投射成真假(對應於1和0) 值的外來方法。如此，在泛型擴張中所有句子的真值又回歸到0,1。
在力迫法的進一步發展中，比較重要的突破是疊代力迫(iterated forcing)的發明。在科恩力迫法出現後不久，即出現了由索洛韋和特南鮑姆(S.Tennenbaum) 發明的有窮支撐疊代力迫(fnite support iterated forcing)。後來萊弗(R.Laver)又發展了可數支撐疊代力迫(countable support iterated foreing)。
力迫法是一種強有力的證明方法。它的重要套用不勝枚舉。幾乎所有重要的獨立性和相容性證明都是，或可以，用力迫法證明的。然而，力迫法並不僅僅是一種證明方法，而本質上更是一種構造方法。在許多數學問題中，需要構造的對象可以被看成某個力迫概念的泛型集。這時，只要適當地定義力迫概念，則可以用力迫法的論證建立構造對象的性質。
