布爾值模型方法(Boolean-valued model ap-proach)集合論獨立性證明的基本方法之一自從1963年美國數學家科恩(Cohen,P.J.)利用他所創立的力迫法，證明了連續統假設相對於ZFC公理系統的獨立性以及選擇公理相對於AFC公理系統的獨立性之後，人們對於力迫法給以極大的關注，試圖利用力迫法證明集合論以及其他數學分支中的獨立性問題.然而，科恩原來的方法較為繁瑣，且方法本身有相當大的局限性.1964年至1967年之間，由以色列學者索洛韋(Solovay, R. M. )、斯科特(Scott ,D. S. )、沃朋卡(Vopen}ca, P.)等人對科恩的方法進行了較大的改進，引人了布爾值模型的概念，避免了科恩原來方法中構造兼納模型的繁瑣細節，使得模型擴充過程變得相當自然而直觀.
基本介紹
- 中文名：布爾值模型方法
- 外文名：Boolean-valued model ap-proach
力迫推理也更易於操作.從科恩對連續統假設獨立性的證明過程可以看出，要想設計一個集合論模型滿足ZFC + }CH，構造一個比V小的模型是不可行的(參見“內模型法”)，必須對V進行擴充，而V已經包括了所有集合，因此，從直觀上講，在ZFC系統內構造出比V還大的類模型似乎是不可能的.1965年，索洛韋提出了把對每個公式的真值指派從2值擴充到一個布爾值域的思想，隨後，斯科特將這一思想付諸實施，從而建立了一套布爾值模型理論.眾所周知，在一個確定的論域上，任何一個集合X可以用它的特徵函式來惟一刻畫，集合與其特徵函式具有一一對應關係，即對任何集合xEV，存在一個與X對應的特徵函式C=，使得二Cdom (Cs )，且當y屬於x時，C}.(.Y)-1;當y不屬於x時，C，(.Y)一0.所有x對應的特徵函式C，構成的類vcz’與V就具有某種同構關係.如果將C,,的取值從{0,1}擴充為一個布爾代數B，則所有這種擴充的特徵函式C構成的類V<a}就可以構成Vcz’的一個擴充，從而也可以被視為對V的一種擴充(參見“布爾值模型”).事實上，通過對布爾代數適當的限制(要求布爾代數完全)，可以證明V `}，滿足ZFC系統的所有公理，從而構成ZFC系統的一個模型，這樣就避免了科恩方法中利用兼納集構造兼納擴充的技術難點，也使得模型擴充過程變得更為自然.
在布爾值模型中，每個集合論公式滬均被賦予一個布爾值，稱為公式的布爾值，記為仁司刀(參見“布爾值模型”).若公式滬的布爾值為1，則認為滬在該布爾值模型下成立.因此要證明某命題A與ZFC相容，只須證明[A}"=1.為了將力迫機制引人到布爾值模型理論中，索洛韋提出可以把力迫關係P卜滬看做布爾值的大小關係，即定義p卜滬，若且唯若p鎮仁司“.從而，可以用力迫條件P“逼迫”仁司一1.其中有一個技術問題，即如何將力迫條件偏序集P與布爾代數B相聯繫.對任意偏序集P，設pEP，令Op=}qEP:q<p}，則}D構成P的序拓撲的基，這個序拓撲的正則開代數R. O. (P)恰好構成一個完全布爾代數.當P滿足一定條件時，P與R. O. (P)的一個稠子集之間可建立一個序同構關係，從而在同構的意義下，可把兩者等同看待，因此，可以把力迫條件P看成為完全布爾代數R. O. (P)的子集.通過適當選擇力迫條件P，使得B=R. O. (P)具有一些特定的性質，使得Via，滿足某些特定公理。如令P= 2`"，以“衛”作為偏序關係，可以證明V}B'IH V}I.如果令P = 2"""`"L，且假設GCH成立，可證明V<a>p 2}0- }:等.應該指出，公式的布爾值的定義實質上是一種真值定義，因此它不可能在ZFC系統中被完全形式化.法國數學家貝爾(Bell , J. L.)等人於20世紀70年代中期，利用兼納超濾的方法，實現了在ZFC系統的可傳模型中定義V<a}及仁·]“的理論，從而使布爾值模型理論與科恩原來的兼納擴充理論相融合.雖然布爾值模型理論為構造集合論模型提供了一種新的思路，然而，在具體使用力迫方法證明某些獨立性問題時，由於力迫條件與布爾代數只是一種同構嵌人關係，不像科恩原來方法那樣，力迫條件與被力迫項之間具有非常直接的關係，因此，在具體選擇力迫條件時仍然有一些較繁瑣的細節.1971年，休恩菲爾德(Shoenfield , J. R.)提出，可以直接利用偏序集，而不必將其嵌人到一個完全布爾代數中實現力迫擴張，從而彌補了布爾值模型理論的不足.由於布爾值模型方法具有簡單、直觀等優點，目前仍然有大量研究者偏好於使用這種方法.
