力迫條件

力迫條件(forcing condition)是公理集合論術語，指用於力迫構造的偏序集的元素。美國數學家科恩(P.J.Cohen)對力迫條件的原始定義形為n∈a或n∉a的有限協調公式集，這裡a代表用於兼納擴充的兼納集(或代表兼納集的名)，n為自然數。因此，每個力迫條件就給出了兼納集元素構成的一個局部情況，由於兼納擴充模型M[G]由兼納集G所決定，因此，一定的力迫條件可以確定出兼納模型中具有或者不具有某種性質，一列適當的力迫條件無窮序列可以確定出兼納擴充M[G]中的所有性質，這種力迫條件序列稱為完備力迫條件序列。現代力迫法對力迫條件的定義由科恩的原始定義抽象與簡化而得。

設〈P，<〉為用於力迫構造的偏序集，p，q∈P為兩個力迫條件，若p<q，則稱p強於q，若存在r∈P使r≤p且r≤q，則稱p與q相容，否則稱為不相容，記為p⊥q。

基本介紹

• 中文名：力迫條件
• 外文名：forcing condition
• 屬性：公理集合論術語
• 定義：用於力迫構造的偏序集的元素
• 相關人物：科恩(P.J.Cohen)

基本介紹

力迫條件(forcing condition)是公理集合論術語，指用於力迫構造的偏序集的元素。美國數學家科恩(P.J.Cohen)對力迫條件的原始定義形為或的有限協調公式集，這裡a代表用於兼納擴充的兼納集(或代表兼納集的名)，n為自然數。因此，每個力迫條件就給出了兼納集元素構成的一個局部情況，由於兼納擴充模型由兼納集G所決定，因此，一定的力迫條件可以確定出兼納模型中具有或者不具有某種性質，一列適當的力迫條件無窮序列可以確定出兼納擴充中的所有性質，這種力迫條件序列稱為完備力迫條件序列。現代力迫法對力迫條件的定義由科恩的原始定義抽象與簡化而得。

設為用於力迫構造的偏序集，為兩個力迫條件，若，則稱p強於q，若存在使且，則稱p與q相容，否則稱為不相容，記為。

力迫法

力迫法(forcing method)是構造集合論模型的主要方法之一，它是由美國數學家科恩(P.J.Cohen)於1963年為證明連續統假設的否定(ᒣCH)與ZFC公理系統的相容性、選擇公理的否定(ᒣAC)與ZF公理系統的相對相容性時發明的，構造集合論模型主要有兩條途徑：一是內模型方法，即從ZF(C)系統的一個模型M出發，構造M的一個子模型N，使N為ZF(C)∪{φ}的模型。美籍奧地利數學家哥德爾在證明CH及AC的相容性時採用的即是內模型法；二是外模型法，即從ZF(C)系統的一個模型M出發，通過擴充M成為一個更大的模型N，使N為ZF(C)∪{φ}的模型。科恩通過分析哥德爾的證明過程意識到，要證明ᒣCH及ᒣAC的相對相容性，至少不可能在已有的ZF(C)系統的標準模型之內構造一個標準模型，使之滿足ᒣCH或ᒣAC。因此，他採用了外模型方法。假設ZF(C)系統有一個可數的可傳標準模型M，取不屬於M的自然數集合a(因M可數，故這樣的a不僅能找到，而且很多)，把a加到M上，以擴充出一個新的模型N[a](⊇M∪{a})，使得N[a]滿足M所滿足的ZF(C)系統的所有公理。為此，必須恰當選擇a，以“逼迫”(Forcing)N[a]滿足人們所希望的命題。這一過程有些像代數中構造代數擴域的過程，將a作為一個待定元，通過觀察N[a]的性質確定a。由於a為自然數集合，因此a的性質取決於哪些自然數屬於它，哪些自然數不屬於它。設p為ω到{0，1}的有限函式，用函式p來表示a的一個部分信息，即當p(n)=1時，表示n∈a；當p(n)=0時，表示n∉a。如果能憑藉a的一個部分信息p推知N[a]必定滿足某個集合論性質A，則稱p“力迫”A在N[a]中成立，記為p⊨A，這裡p稱為力迫條件，A稱為力迫結論，“力迫”一詞的含義是因為a具有條件p之後，才迫使性質A在N[a]中成立，通過恰當定義力迫關係“⊨”，可以使之滿足下列性質：

1.可靠性：p⊨A與p⊨TA不能同時成立；

2.平凡性：若p⊨A，則對任何q⊇p，q⊨A(因為q比p包含了更多有關a的信息)；

3.完全性：對任何條件p及性質A，總存在條件q⊇p，使q⊨A或⊨ᒣTA，此時稱q決定A。

根據上列性質，先將所有集合論性質排成一個序列A₀，A₁，…，任取一個力迫條件p作為起點，若p不能決定A₀，則由完全性可知存在p₀⊇p，使p₀決定A，否則取p₀=p。若p₀也能決定A₁，則取p₁=p₀，否則取p₁⊃p₀，使p₁決定A₁，依此類推，可以得到一個力迫條件序列{p_n}，使得對任何n，p_n⊨A_n或p_n⊨ᒣAC，稱這樣的序列為一個完全序列，它完全決定了N[a]的性質，令a={n：p_n(n)=1}，從而待定元a就可以由力迫序列{p_n}所確定，一個實際的力迫證明通常採用反證法，它是一種對角線方法，對給定的力迫序列{p_n}，若欲證明性質A在N[a]中成立，反證假設ᒣA在N[a]中成立，從而存在一個力迫條件p_n⊨TA_n，因p_n有限，故可對p_n進行恰當擴充，使q⊃p_n且q⊨ᒣ(ᒣA)，但由性質2，q⊨ᒣA，這與性質1矛盾，從而得出原證結論。利用這種方法可以證明ZFC+V≠L相對於ZFC系統相容。對上列方法再進行一般化，可以證出ᒣAC，ᒣCH的相容性結果。

以上為科恩的力迫法的基本思想，在隨後的十多年中，人們對力迫法作了較大的改進，形成了多種力迫法表述形式，最有代表性的是斯科特(Scott，D.S.)與以色列學者索洛韋(Solovay，R.M.)等人發展的布爾值模型方法及休恩菲爾德(Shoenfield，J.R.)給出的偏序集上的兼納擴充方法。目前通常採用後一種表述方法或將兩種方法相結合。力迫擴張的過程可大致描述如下：對ZF(C)系統的一個可數可傳模型M(稱為基模型)以及M中的一個偏序P(稱為力迫概念)，令G⊆P為P的一個兼納子集(參見“兼納集”)，一般地，G∉M，由兼納模型定理(參見“兼納模型定理”)，存在一個包含G且擴充M的模型M[G]，使M[G]為ZF(C)系統的一個可數可傳模型。M[G]稱為M的兼納擴充。為了能在基模型M中討論擴充模型M[G]的性質，引入若干新的常元(它們可以在M中定義出來)，用以表示M[G]中的集合，通常稱之為M[G]中元素的名，記為藉助這些名，可以在基模型中描述兼納模型M[G]的性質。

在基模型中，恰當定義力迫法關係(這裡稱為力迫條件，φ為經擴充的集合論語言的公式，為的名)，使得如下力迫定理成立：若且唯若存在，使。因此，M[G]的性質就可以由M中的力迫關係所決定。為了證明某個集合論假設A加到ZF(C)系統後相對ZF(C)系統的相容性，可以適當構造偏序集P，使得兼納擴充M[G]滿足A。利用這種方法可獲得諸如ZFC+ᒣCH，ZF+ᒣAC，ZFC+GCH+V≠L等相對相容性結果。如果進行一次力迫擴充，仍不能使兼納擴充模型獲得所需的性質，可以將擴充後的模型作為基模型，再進行若干次擴充，直至獲得所需的性質。這種方法稱為疊代力迫法。例如ZFC+MA+ᒣCH以及ZFC+SH的相對相容性即是用疊代力迫法獲得證明的。近十多年來，套用疊代力迫法進行了大量的研究，取得了非常豐富的研究成果。以色列數學家謝拉赫(S.Shelah)在這方面的成就舉世矚目。他引入正常力迫法並且證明了許多疊代力迫法的保持定理，謝拉赫還用他的理論解決了一大批著名的數學問題，如拓撲學中的P點存在性問題，無限交換群中的懷特海問題等，目前已被套用於遞歸論、超限算術、無窮組合論、一般拓撲、測度論、泛代數、模型論等眾多領域，是迄今為止獲得相對相容性結果的主要方法。