《策梅洛集合論》是1908年出版的圖書，作者是（德）策梅洛。本書主要是對作者集合論知識的理論提出和發展的講解。
基本介紹
- 書名：策梅洛集合論
- 作者：策梅洛
- 類別：論文
- 出版時間：1908年
- 作者國籍：德國
書籍介紹,公理,聯繫,目標,分離公理,康托爾定理,作者簡介,生平,主要貢獻,
書籍介紹
Zermelo 集合論，設立自恩斯特·策梅洛在1908年的重要論文，它是現代集合論的祖先。它與它的後代有特定的差別，經常被誤解並經常被誤引用。本文架設最初的公理，帶有最初的文本(從德文譯成了英文)和編號。
公理
公理 I。外延性公理 (Axiom der Bestimmtheit)：“如果一個集合 M 的所有元素也是 N 的元素，反之亦然 ... 則 M = N。簡要的說，所有集合確定自它的元素”。
公理 II。基本集合公理(Axiom der Elementarmengen)：“存在(假想的)集合，空集合 ，它根本不包含元素。如果 a 是域的任何元素，存在一個集合 {a} 包含 a 並只包含 a 作為元素。如果 a 和 b 是域的任何兩個元素，總是存在一個集合 {a, b} 包含 a 和 b 作為元素，而不包含不同於它們二者的對象 x”。參見空集公理、對集公理。
公理 III。分離公理 (Axiom der Aussonderung)：“只要命題函式 –(x) 對於一個集合 M 的所有元素是明確的，則 M 擁有一個子集 M' 精確的包含 M 的使 –(x) 為真的那些元素作為元素”。
公理 IV。冪集公理 (Axiom der Potenzmenge)：“對於所有集合 T 都對應著一個集合 T' ，T 的冪集，精確的包含 T 的所有子集作為元素”。
公理 V。並集公理 (Axiom der Vereinigung)：“對於所有集合 T 都對應著一個集合 ∪T，T 的並集，精確的包含 T 的元素們的所有元素作為元素”。
公理 VI。選擇公理 (Axiom der Auswahl)：“如果 T 是集合的集合，T的元素都不為空集且相互無交，則它的並集 T 至少包含一個子集 S1 ，T 中的每個元素與S1有且只有一個公共元素 ”。
公理 VII。無窮公理 (Axiom des Unendlichen)：“在域中存在至少一個集合 Z 包含空集作為一個元素，並且對於它的每個元素 a 都對應著形如 {a} 的進一步元素而構成的，換句話說，對於它的每個元素 a 它也包含對應的集合 {a} 作為元素”。
聯繫
公認的標準集合論是 Zermelo-Fraenkel 集合論。其中沒有“基本集合公理”的完全對應者。(後來證實單元素集合可以從所謂的“對集公理”推導出來。如果 a 存在，a 和 a 存在，所以 {a,a} 存在。通過外延性 {a,a} = {a}。) 空集公理已經被無窮公理所假定，現在不被包括為它的一部分了。
這裡的公理不包括正規公理和替代公理。它們是 Thoralf Skolem 在1922年基於同一年早些時候 Adolf Fraenkel 的工作而增加的。
在現代 ZFC 系統中，在分離公理中提及的“命題函式”被解釋為“可用帶有參數的一階公式定義的任何性質”。“一階公式”的概念在 1904 年 Zermelo 發表他的公理的時候是未知的，而他後來拒絕這種解釋因為太受限制了。
在通常的 ZFC 集合論的累積層次 Vα (對於序數 α)中，對於大於第一個無限序數 ω 的極限序數 α 的集合 Vα 之一形成了 Zermelo 集合論的模型。所以 Zermelo 集合論的相容性是 ZFC 集合論的一個定理。Zermelo 的公理不允許很多無限基數的存在；例如，在 Zermelo 集合論的模型 Vω+ω 中對於有限序數 α 只有無限基數 。
無窮公理現在通常被修改為斷言第一個無限馮·諾伊曼序數 的存在性；有意思的是觀察到最初的 Zermelo 公理不能證明這個集合的存在，而修改後的 Zermelo 公理也不能證明 Zermelo 的無窮公理。Zermelo 的公理(最初的或修改後的)不能證明 作為一個集合的存在性，也不能證明帶有無限標定(index)的累積層次的任何階的存在性。
目標
介紹聲稱了集合論學科的真正存在性，“它好像受到從它的原理推導出的特定矛盾或“自相矛盾”的威脅 – 這些原理必然支配我們的思維 – 而完全滿意的解決似乎仍未找到。”Zermelo 當然指的是羅素悖論。
分離公理
Zermelo 註解他的系統中的公理 III 負責消除悖論。它不同於康托爾最初的定義。
集合不能用任何任意的邏輯上可定義的概念來獨立的定義。它們必須被“分離”為已經“給出”的集合的子集。他說這消除了矛盾性的想法如“所有集合的集合”或“所有序數的集合”。
康托爾定理
Zermelo 的論文因第一次提及康托爾定理而著名。它嚴格的憑藉了集合論的概念，因此不完全同於最初的康托爾對角論證法。
作者簡介
策梅洛（1871～1953） Zermelo, Ernst Friedrich Ferdinand
生平
德國數學家。公理集合論的主要開創者之一。1871年7月27日生於柏林，1953年5月21日卒於弗賴堡。1889年大學畢業後，研究數學、物理和哲學，1894年獲博士學位，1899年執教於哥廷根。1905年為教授。1926年為弗賴堡大學榮譽教授，1935年因駁斥阿道夫·希特勒的統治與該校失去聯繫，直到第二次世界大戰後的1946年才被該校承認復職。
主要貢獻
策梅洛的主要貢獻是集合論基礎，1904年發表的論文不僅解決了G.康托爾的良序問題，而且給出了選擇公理（也稱為策梅洛公理），它有上百種等價形式，已套用於幾乎每一個數學分支，成為一個獨立的研究領域。他在1908年建立了第一個集合論公理系統，給出了外延、空集合、並集合、冪集合、分離、無窮與選擇等公理，A.A.弗倫克爾和A.T.斯科朗又作了改進，增加了替換公理，J.馮·諾伊曼進一步提出了正則公理，後經策梅洛的總結構成了著名的集合論公理系統ZF，形成了公理集合論的主要基礎。策梅洛對物理、數學套用一直有濃厚的興趣，在變分法、氣體運動學等方面也有研究。
