集合存在性公理

基本介紹

集合存在性公理是GB系統的集合論公理，指GB系統中的第3組(即C組)公理，共有4條：

1.無窮公理，即無條件承認有一非空集a，對於a的每一元x，必有a的元y，使得x為y的真子集，因此，a的元必有無窮多。

2.並集公理，即斷言對任何集x，都存在著一集y，使得x的任何元的元都是y的元。

3.冪集公理，指對任何集x，都有集合y存在，使得x的任一子集都是y的元。

4.替換公理，指對任何集合x和任何單值的A，總有集合y存在，此y恰由x的元經由單值二元關係A所產生的集組成。

其符號表達式依次為：

C1　∃a{～C_m(a)∧ᗄx[x∈a→∃y(y∈a∧x⊂　y)]}.

C2　ᗄx∃yᗄuᗄv[u∈v∧v∈x→u∈y].

C3　ᗄx∃yᗄu[u⊆x→u∈y].

C4　ᗄxᗄ_A{U_n(A)→∃y ᗄu[u∈y↔∃v(v∈x∧　　〈u，v〉∈A)]}.

注意，由C1，C2，C3所決定的新集合併不惟一確定，又上述諸符號表達式中之C_m和U_n分別指空類和單值，亦即：

C_m(X)→ᗄuᒣ(u∈X)，

U_n(X)↔ᗄuᗄvᗄw[〈　〉∈X∧〈　〉∈X→v=w].

無窮公理(axiom of infinity)亦稱無限公理，是集合論的一條重要公理，由策梅洛(E.F.F.Zermelo)於1908年首先提出，該公理是斷言：存在無窮集合。對策梅洛這一公理的形式化有各種不同的方法，較為成功的有：

1.∃X(∃u(u∈X)∧(∀u∈X)

(∃v(v∈X∧u⊆v∧¬(v=u)).

2.存在一個遞歸集S：∃S(∅∈S∧(∀X∈S)[X∪{X}∈S]).遞歸集是無限集；反之，利用替換公理模式可從無限集的存在性推出遞歸集的存在性.

另外，1925年，塔爾斯基(A.Tarski)定義了T無限的概念：如果存在X⊆P(N)，沒有極大元素，則稱N是T無限集，他證明了一個集合無限，若且唯若它是T無限的，因此無窮公理也可表述為：存在T無限集。

並集公理(axiom of union)是集合論的一條重要公理，由策梅洛(E.F.F.Zermelo)於1908年提出，該公理斷言：對任何集合X，存在X的所有元素的並集Y=∪X.這條公理可以形式化為：

∀X∃Y∀u(u∈Y

∃z(z∈X∧u∈z)).

利用這條公理可以定義集合的並運算，例如，X∪Y=∪{X，Y}，X∪Y∪Z=(X∪Y)∪Z.{a，b，c}={a，b}∪{c}等.也可以定義集合的包含關係：

X⊆Y

∪{X，Y}=Y.

由於X⊆X∪Y，Y⊆X∪Y，所以，從並集公理可以得出包含公理：對任意兩集X與Y，存在同時以X，Y為子集的集合。