決定性公理(determinstic axiom)是集合論的一條重要公理，在現代描述集合論中無窮對策具有重要的作用。考慮二人對策：設M={0，1，…，m-1}，參賽者Ⅰ和Ⅱ輪流在M中選取n個數，得到結果序列，設為〈p1，q1，p2，q2，…，pn，qn〉，稱為一個結局。一個結局的集合S被事先給出並且為Ⅰ和Ⅱ知道.最後，若〈p1，p2，…，qn〉∈S，則Ⅰ獲勝；否則〈p1，p2，…，qn〉∉ S，則Ⅱ獲勝，把這種對策記為GS，許多二人參賽的智力遊戲，如下棋，都能在適當地選擇M，n和S後，以這一抽象的形式被數學地表示，Ⅰ的一種必勝策略是指一規則：在Ⅰ的每一步，該規則可以根據雙方在此以前的取法告訴Ⅰ這一步該怎樣取，最終使Ⅰ獲勝，類似地，可定義Ⅱ的必勝策略，在n是有窮的情況下，容易證明Ⅰ或Ⅱ必然有一個必勝的策略，也就是說對策是決定的，但在n是無窮時，對策是否是決定的就不再是明顯的事實，決定性公理是：對於每個結局集S，GS是決定的，這裡S⊆{〈p1，q1，p2，q2，…，pn，qn，…〉|pn，qn∈w}。
基本介紹
- 中文名：決定性公理
- 外文名：determinstic axiom
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：集合論
- 簡介：公理集合論用語
基本介紹,相關說明及結論,
基本介紹
決定性公理是公理集合論用語。可添加到公理集合論ZF系統中去的一條公理，簡記為AD。其內容為：對於每一個集合S⊆N↑N，對策G(S)都是決定性的。其中的N是自然數集，N↑N是{f| f：N→N}，G(S)是與集合S相關的二人對策，所謂二人對策G(S)，是指：對局者甲和乙依次選取自然數：a0，b0，a1，b1，…(甲選取a0，a1，…;乙選取b0，b1，…)，<a0，b0，a1，b1，…>是一個函式g：N→N，即g∈N↑N，如果g∈S，則對局者甲勝，否則為對局者乙勝。如果甲(或乙)按照某種策略g取值一定能獲勝，則稱甲(或乙)有必勝策略，並稱對策G(S)是決定性的。決定性公理與選擇公理(簡記為AC)是彼此衝突的。可以證明，在公理集合論ZFC(即ZF+AC)系統中，決定性公理不成立。反之，如果把決定性公理添加到公理集合論ZF系統中去(記作ZF+AD)，則有某些弱的選擇公理成立。例如，在ZF+AD系統中，實數的非空子集的每一個可數簇都有一選擇函式。
相關說明及結論
對
的每一個子集A，我們定義下面的遊戲GA：甲、乙二人對局，甲選取自然數a0，乙選取自然數b0，接著甲取數a1，乙取數b1，從而形成二無窮序列
甲
乙
若所得結果序列
在A中，則甲勝，否則乙勝。甲的策略σ為一函式，使得對任何n，
，乙的策略
也為一函式，使得對任何n，
，
對甲(乙)來說是必勝策略，若甲(乙)運用它作遊戲GA時不管乙(甲)如何著法，他必勝。
遊戲GA稱為決定的，若甲、乙二人中有一人必有必勝策略。
決定性公理(Axiom of Determinateness)
AD：對每一個
，遊戲GA是決定的；
決定性公理AD與選擇公理AC不相容。
證明 設
為一無窮基數使得
，運用超窮遞歸構造集合
，使得
[1]
[2]
[3]
令
，則A是非決定的。
因為策略數為
，所以令
是所有策略的枚舉。設
，假定對所有
已確定。（1）若lim α，則令
；（2）若suc(α)，令α=β+1，則
如下確定：若甲使用策略
，而乙任意地以b={b0，b1，…}與甲遊戲，則共有 個不同的對局，以
表示其中任意一個對局。因
，故存在
使得
。由假定，
已被良序。因此我們可選取有此性質的最小b，並且
。同樣地，若乙使用策略
，則存在a使得
，這裡
表示已使用策略 而甲取
中的元與之遊戲的對局。這時選取這樣的最小a令
。
令 ，則我們獲得遊戲GA，因為任意策略σ是
中的一個，由
的構造可知，甲、乙二人都無必勝策略。
決定性公理與弱選擇公理之一——可數選擇公理是相容的。
可數選擇公理(Countable Axiom of choice)：非空集的每一個可數族有選擇函式。
定理 若決定性公理成立，則實數的任一個非空子集組成的可數族有選擇函式。
證明 設X={X0，X1，...}是 的非空子集組成的可數族，則X有選擇函式。事實上，若甲玩a={a0，a1，...}．乙玩b={b0，b1，...}，甲沒有決勝策略，因為一旦甲取數a0以後，乙能容易地玩b使
，乙玩b={b0，b1，…}，甲以{a0，0，0…}與之對局，則結果序列a0b0…
。可見乙有必勝策略
，於是在X上定義函式f，使得f(Xn)是乙運用 策略時，對抗甲的{n，0，0，…}的那個b。
