GB系統

GB系統(GB system)是集合論的重要公理系統之一，該系統中有集合與類兩個基本概念。用小寫英文字母x，y，z，…作為集合變元，用大寫英文字母X，Y，Z，…作為類變元，此外，cla(X)與m(X)分別表示X是一類與X是一集合。

基本介紹

• 中文名：GB系統
• 外文名：GB system
• 所屬學科：數學（集合論）
• 別稱：NBG系統
• 簡介：公理集合論系統之一
• 提出者：馮·諾伊曼

基本介紹

GB系統亦稱NBG系統。公理集合論系統之一。由馮·諾伊曼在1925年提出，後經貝爾納斯和哥德爾改進、簡化後構成。與公理集合論ZF系統不同，GB系統中既有“集合”又有“類”。集合都是類，但類不都是集合，不是集合的類稱為“真類”，真類不能作為類的元素。就有關集合的命題而言，ZF系統和GB系統的推理能力是一樣的，GB系統是ZF系統的一個保守的擴充。GB系統與ZF系統是相對一致的，即GB系統是一致的，若且唯若，ZF系統是一致的。

GB系統的五組公理

GB公理系統的公理分為五組：

A組公理：

1.cla(x)(任意集合x都是類)。

2.X∈Y→m(X)(類的任意元都是集合)。

3.(x∈X→x∈Y)→X=Y(類的外延公理)。

4.無序對公理。

B組公理(類的存在公理)：

1.存在一類E，它的元素都是有序對集合，並且該有序對的第一元屬於第二元。

2.對於任意類X，Y，都有一類Z，它為X和Y的交類。

3.對於任意類X，它的補也是一類。

4.對於任意類X，它的元素中有序對的第一元組成一類。

5.對於任意類X，它的元作為有序對的第一元，而第二元為任意的集合.所有這些有序對組成一類.

6.對於任意類X，它的逆X^-1也是一類.X^-1是這樣定義的：〈S₁，S₂〉∈X若且唯若〈S₂，S₁〉∈X^-1。

7.對於類X，存在類Y，使得對任意〈x，y，z〉∈X，若且唯若〈y，z，x〉∈Y。

8.對於類X，存在類Y，使得〈x，y，z〉∈X，若且唯若〈x，z，y〉∈Y。

C組公理(集合存在公理)：

1.無窮公理

2.並集公理

3.冪集公理

4.替換公理

D組公理：對於任意的不空類X，都有y∈X，使

y∩X=∅。

E組公理(選擇公理).

這個公理系統的最大特點是沒有公理模式，因此，它是一有窮公理系統.並且它規定真類不能作為類的元素。從而避免了以往的悖論。

GB系統與ZF以及ZFC系統的比較

GB系統與ZFC系統

與ZFC系統相比，GB系統增添了類的概念及類的構成公理，從而具有兩大優點:(1)由於類的引入，因而可以自由地使用概括原理，(2)運用類的構成公理，可以證明GB系統中的一條很強的定理，由它可以導出置換公理模式與子集公理模式。因此GB系統是一個有限公理化系統，而ZFC卻是一個無限公理化系統。隨之可以得到：在GB系統中引進類的概念並增加類的構成公理後，並不增加產生悖論的危險。因為，可以證明GB關於ZFC是相對協調的。因而，如果ZF是協調的，那么ZFC也是協調的，GB也是協調的。進一步還可證明ZFC系統中的定理與GB系統中不包含類的定理完全一致。

GB系統與ZF系統

GB系統和ZF系統的不同，主要是: (1 )GB系統區分“集合”和“類”,能作其它集合或類的元素是集合，不能作其它的類的元素的類，叫做真類。 GB系統對類和集合使用兩種變元。(2 )GB系統的公理是有窮的。

在ZF系統和GB系統之間，若給出一一定的對應關係，則可有下述結果: (1)所有ZF系統的定理都是GB系統的定理，(2)GB系統中關於集合(不說及類)的定理都是ZF系統的定理；(8) ZF是協調的，若且唯若GB是協調的。