實數公理是定義實數的一種途徑。按照它，所謂實數系就是定義了兩種二元運算（加法與乘法）和一種次序關係（>）的集合，並且這些運算和次序滿足規定的公理，由這些公理可以推出實數的一切性質。
基本介紹
- 中文名：實數公理系統
- 外文名：axioms of real number
- 適用範圍：數理科學
簡介,具體內容,發展,
簡介
實數公理是定義實數的一種途徑。按照它，所謂實數系就是定義了兩種二元運算（加法與乘法）和一種次序關係（>）的集合，並且這些運算和次序滿足規定的公理，由這些公理可以推出實數的一切性質。
具體內容
實數公理的具體內容如下：
設R是一個集合，若它滿足下列三組公理，則稱為實數系，它的元素稱為實數：
(I)域公理
對任意 a，b∈R ，有 R 中惟一的元素 a+b 與惟一的元素 a·b 分別與之對應，依次稱為 a ， b 的和與積，滿足：
1.（交換律） 對任意 a，b∈R ，有a+b=b+a，a·b=b·a 。
2.（結合律） 對任意 a，b，c∈R ，有a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c 。
3.（分配律） 對任意a，b，c∈R，有(a+b)·c=a·c+b·c 。
4.（單位元） 存在R中兩個不同的元素，記為0,1分別稱為加法單位元與乘法單位元，使對所有的a∈R，有a+0=a，a·1=a 。
5.（逆元） 對每個 a∈R ，存在 R 中惟一的元素，記為 -a ，稱為加法逆元；對每個 a∈R\{0} ，存在 R 中惟一的元素，記為 a-1 ，稱為乘法逆元，使a+(-a)=0，a·a-1=1 。
(II) 序公理
(a)在任意兩個元素 a，b∈R 之間存在一種關係，記為“>”，使對任意 a，b，c∈R ，滿足：
1.（三歧性）a>b,b>a,a=b 三種關係中必有一個且僅有一個成立。
2.（傳遞性） 若 a>b 且 b>c 則 a>c 。
3.（與運算的相容性） 若 a>b，則 a+c>b+c；若 a>b，c>0 則 ac>bc 。
(b)在任意兩個元素 a，b∈R 之間存在一種關係，記為“
”，使對任意 a，b，c∈R ，滿足：
1.（反對稱性） 若 a b 且 b a 那么 a=b 。
2.（傳遞性） 若 a b 且 b c 則 a c 。
3.（與運算的相容性）若 a b，則 a+c b+c ；若 a 0 且 b 0，則 ab 0 。
註：對於序公理a，b這兩種描述是等價的。因為我們可以通過其中一個符號及其性質來定義另一個符號。
(III)(1) 阿基米德公理（也稱阿基米德性質，它並不是嚴格意義上的公理，可以由連續性公理證明。在歐幾里得的幾何書中，它僅被描述為一個命題）。
阿基米德公理：對任意a，b∈R，a>0 存在正整數 n ，使 na>b 。
(III)(2)完備性公理
R中的任何基本列都在R中收斂。
稱滿足公理組I的集為域；滿足公理組I與II的集為有序域；滿足公理組I，II與(III)(1)的集為阿基米德有序域；滿足公理組I～III的集為完備阿基米德有序域或完備有序域。這樣，實數系就是完備阿基米德有序域。所有有理數的集合Q就是阿基米德有序域，但它不滿足完備性公理。根據域公理，可以定義實數的減法和除法，並證明四則運算的所有性質。序公理的1與2表明關係“>”是R的全序。
用域公理和序公理可以定義正數、負數、不等式、絕對值，並證明它們具有通常的運算性質。加上阿基米德公理與完備性公理，可以證明實數的其他性質以及冪、方根、對數等的存在性。實數公理有多種不同的提法，常見的另一種提法是把公理組III換成
(III)’連續性公理（戴德金公理）
若 A，B 是 R 的非空子集且 A∪B=R ，又對任意的 x∈A 及任意的 y∈B 恆有 x<y ，則 A 有最大元或 B 有最小元，即存在 c∈R，使 x<c<y 。
這裡把戴德金定理用作連續性公理。另一個常用作連續性公理的確界原理。公理組I～III與公理組I+II+(III)’是等價的，（注意不是III<=>(III)’）。完備性公理可以換成閉區間套定理的形式。類似地，單調收斂定理，聚點原理等也可用作連續性公理。公理組II也有其他提法。用公理定義了實數系R後，可以繼續定義 R 的特殊元素正整數、整數等。例如，由數1生成的子加群Z={0,±1,±2,…} 的元素稱為整數；由數 1 生成的子域Q={p/q|p,q∈Z,q≠0} 的元素稱為有理數。
發展
實數公理時在集合發脹的基礎上，有希爾伯特 (Hilbert,D.) 於 1899 年首次提出的。後來，他提出的公理系統在相容性與獨立性方面得到進一步改進，逐步演變為前面所說的公理系統。
