基本介紹
- 中文名：交運算
- 所屬學科：數學
- 相關概念：格，集合的交，偏序集等
關於格的交運算,集合的交運算,定義,舉例說明,圖形表示,
關於格的交運算
格(lattice)是一類代數結構，它是建立在偏序集
之上的，由E的任意元素
構造的如下兩個集合
{
且
}及
{
且
}，它們作為P的子集均仍為偏序集，一般不一定有最小元或最大元。若對P的任意元素，
均有最小元，
均有最大元，則稱P為格，並記為
。在格上，把和其最小元的對應關係視為一類二元運算，稱為x和y的交，記為
，對稱地，把和其最大元的對應關係視為x和y的結，記為
。它們是格上最基本的運算，這兩類運算滿足：
1.同一律：
2.交換律：
3.結合律：
4.吸收律：
其中和z均為E的任意元素，因此格又可視為滿足上述四條規律的代數結構
。
雖然格的理論建立較晚，大約在20世紀30年代左右，但是很快就在解決序集問題和組合問題及代數問題中迅速發展，成為有關研究的有效理論基礎，格理論伴隨擬陣理論的發展就是一個明顯的例證，與一般具有序特徵的代數結構不同的是，格中元素的序特徵不是外在的，而是內在的，這是由於它們的序關係完全可以等價地由格的內在運算來刻畫：
若且唯若
或者若且唯若
，這也反映了格的交運算與結運算的對稱性。有一些重要的格的例子。例如，
格，這裡
為E的所有子集的構成的集族，而
，其上的結運算為集x和集y的並集，交運算為集x和集y的交集。又如，若自然數n的所有正整除數組成集合為E，E的元素有序關係
若且唯若x能整除y，則偏序集
為格，為x和y的最低公倍數，為x和y的最大公約數。
集合的交運算
定義
對於任意兩個集合A、B，由所有既屬於A又屬於B的元素構成的集合，稱作A與B的交集，記作
。即：={
且
}。
舉例說明
例如，
，則
如果集合
，也就是說集合A和B沒有公共元素，則稱A、B不相交。
例如：
例如：
圖形表示
集合之間的運算可以用文氏(John Venn英國數學家，1834-1923)圖形象地表示。如圖1所示，用平面上的矩形表示全集
。用矩形內的圓表示中的任一集合。圖中陰影部分為。
圖1 集合的交運算由集合交運算的定義可知，交運算有以下性質：
(1) 冪等律：
(2)同一律：
(3)零律：
(4)結合律：
(5)交換律：
類似地，結合律可以用歸納法推廣到有限個集合的情況，記
