模糊集表現定理

模糊集表現定理(representation theorem of fuzzy sets)是模糊集合論中的一個基本定理，表現定理的意義是：X上任給一個集合套都可以拼成一個模糊集，表現定理在理論上解釋了模糊集與區間集的關係，說明模糊的對象可以由一系列賦予某種可能性度量的精確對象表述。

基本介紹

• 中文名：模糊集表現定理
• 外文名：representation theorem of fuzzy sets
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：模糊集合論
• 簡介：模糊集合論中的一個基本定理

基本介紹

模糊集表現定理與模糊集的分解定理從不同的角度揭示了模糊集與經典集的關係，分解定理表明，任一模糊集A可由集合套 來表示；而表現定理指出，每個集合套都可以表示一個模糊集。

集合套的交並補

設映射 滿足： ，則稱H為X上的一個集合套，所有X上的集合套組成的集合記為H(X)，在H(X)中定義運算∪，∩，如下：

模糊集的表現定理

模糊集的表現定理為：設F(X)為X上所有模糊集組成的集合，令

則T是 到 上的同態滿射，且滿足：

其中分別表示模糊集T(H)的λ水平集和弱λ水平集。

關於表現定理的代數說明

表現定理闡明了一個重要事實：模糊集可由一族互相嵌套的經典集合構造出來．這就預示著模糊集合會保留經典集合的一些性質。事實上，模糊集合的運算確實保持了經典集合的大部分性質，只有互補律不成立，當我們在集合套上也定義其並、交、補運算時，可用代數學中的同態、同構來更清楚地說明相關關係。如上所述集合套的並、交、補。

集合套的並、交運算就是用經典集合的並、交來定義的，因此模糊集保持關於並、交運算的性質就是自然的事了。同時，也因為集合套的補運算涉及了，因而涉及補運算的互補律在集合套運算中不再保持，從而在與其同構的模糊集運算中也就不成立。