定義
這種屬性所表達的概念應該是清晰的,界限分明的。因此每個對象對於集合的隸屬關係也是明確的,非此即彼。但在人們的思維中還有著許多模糊的概念,例如年輕、很大、暖和、傍晚等,這些概念所描述的對象屬性不能簡單地用“是”或“否”來回答,模糊集合就是指具有某個模糊概念所描述的屬性的對象的全體。由於概念本身不是清晰的、界限分明的,因而對象對集合的隸屬關係也不是明確的、非此即彼的。這一概念是美國加利福尼亞大學
控制論專家L.A.扎德於 1965 年首先提出的。模糊集合這一概念的出現使得數學的思維和方法可以用於處理
模糊性現象,從而構成了模糊
集合論(中國通常稱為
模糊性數學)的基礎。
給定一個論域
U,那么從
U到單位區間 [0,1] 的一個映射
稱為
U上的一個
模糊集,或
U的一個
模糊子集。
表示
模糊集可以記為
A。 映射(函式)
μA(·) 或簡記為
A(·) 叫做模糊集
A的
隸屬函式。 對於每個
x∈
U,
μA(
x) 叫做元素
x對模糊集
A的
隸屬度。
模糊集的常用表示法有下述幾種:
(1)解析法,也即給出隸屬函式的具體表達式。
(2)Zadeh 記法,例如
。分母是論域中的元素,分子是該元素對應的隸屬度。有時候,若隸屬度為0,該項可以忽略不寫。
(3)序偶法,例如
,序偶對的前者是論域中的元素,後者是該元素對應的隸屬度。
(4)向量法,在有限論域的場合,給論域中元素規定一個表達的順序,那么可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式,如A= (1,0.5,0.72,0) 。
模糊度
一個模糊集A的模糊度衡量、反映了A的模糊程度,一個直觀的定義是這樣的:
設映射D:F(U) → [0,1] 滿足下述5條性質:
清晰性:D(A) = 0 若且唯若A∈P(U)。(經典集的模糊度恆為0。)
模糊性:
D(
A) = 1 若且唯若 ∀
u∈
U有
A(
u) = 0.5。(
隸屬度都為0.5的模糊集最模糊。)
單調性:∀u∈U,若A(u) ≤B(u) ≤ 0.5,或者A(u) ≥B(u) ≥ 0.5,則D(A) ≤D(B)。
對稱性:∀A∈F(U),有D(A) =D(A)。(補集的模糊度相等。)
可加性:D(A∪B) +D(A∩B)=D(A) +D(B)。
則稱D是定義在F(U) 上的模糊度函式,而D(A) 為模糊集A的模糊度。
可以證明符合上述定義的模糊度是存在的,一個常用的公式(分別針對有限和無限論域)就是
其中p> 0 是參數,稱為 Minkowski 模糊度。特別地,當p= 1 的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標,當p= 2 的時候稱為 Euclid 模糊度。