弗雷格對這一悖論曾作了準確表述：“現在讓我們集中注意這個概念：不屬於自身的類。因此這個概念的外延（如果我們可以談論它的外延的話）就是，不屬於自身的那些類構成的類。為簡化起見，我們稱它為類K。現在讓我們問，這個類K是不是屬於自身。首先，讓我們假定它屬於自身。如果一個東西屬於一個類，那么它就歸屬於以這個類為其外延的概念。這樣，如果類K屬於自身，那么它就是一個不屬於自身的類。因此我們的第一個假定導致自相矛盾。第二，讓我們假定類K不屬於自身，這樣它就歸屬於自身為其外延的概念，因此就屬於自身。這裡我們又一次得到同樣的矛盾。”
基本介紹
- 中文名：集合悖論
- 導致了：邏輯理論基石的動搖
- 質上是：一個簡單的邏輯錯誤
- 問題：至今仍然是尚未弄清
後果,缺陷,
後果
集合論悖論導致了邏輯理論基石的動搖，至今仍然是尚未弄清的問題。以概念具有結構系統的觀點來考察，所謂“集合論悖論”本質上是一個簡單的邏輯錯誤。
缺陷
從弗雷格的表述可以看出，集合論悖論涉及到概念結構系統里上下兩級類概念：一是“不屬於自身的類”，一是“不屬於自身的那些類構成的類”。同時也涉及到集合概念。而集合論悖論恰恰沒有理清這些概念間的關係。
1、考察“集合”概念
追蹤造成集合論悖論的原因，首先應當審察“集合”這一概念。
集合概念在思維和語言中是大量存在的，如柴堆、叢書、牛群、羊群、工人階級等等。上述例子都是在個體層面中以多個個體為元素構成的集合，其實，在概念系統的高級層次中也能構成集合，如動物群、生物群等。由此可以看出，集合是概念結構系統里某一層面一定範圍中的元素橫向結合而成的整體。也可以形象地說，集合是寄生在類概念結構系統中一定層面的塊狀物。這種集合概念是與類概念完全不同的，它與概念系統中原先的上下級類概念不再具有類屬關係。例如，羊群不再類屬於動物，某一隻羊也不類屬於羊群，因而不能按類屬關係作性質上的推導。我們不能根據動物的屬性來推論羊群的屬性，也不能根據羊群的屬性來推論某一隻羊的屬性。
但是集合論的創始人康托爾在給集合下定義時說，所謂集合，“就是人們在直覺或思維中能加以綜合概括的任意確定的能與其他事物區別的對象匯總在一起所得的整體”康托爾的解釋，離開了概念的結構系統，因而模糊了集合與類這兩種不同概念的區別。他的所謂“任意確定的整體”可以是一個集合，也可以是一個類。我國學者朱水林先生指出，以集合概念為基礎的集合論恰恰“總是把集合和類看成一樣的”，並且“不加限制地使用”，這樣，造成矛盾是不可避免的。
集合論悖論中的“類K”實際上不是一個概念，而是暗含了兩個概念。正因為如此，弗雷格才能對它作出兩個假定：“屬於自身”和“不屬於自身”。能夠屬於自身的是集合概念，因為集合論約定一個集合可以成為自身的元素；不屬於自身的則可以是類概念，因為一個類只屬於上一級的類，不可能屬於自身。在三段論推理中，一個名詞暗含兩個概念，勢必犯“四名詞”錯誤。在集合論悖論中，“類K”暗含兩個概念，因而推出矛盾結論是非常自然的。集合概念與上下級類概念沒有性質上的一致性，不能作性質上的推導，因而集合概念所構成的命題不能當作類概念的命題來作三段論推理。弗雷格混淆了集合概念與類概念的區別，所以，他用“類K”所作的“屬於自身”或“不屬於自身”的推論其實都是不當的推論。
我國學者張家龍先生說：“集合論悖論的發生是由於混淆了集合和真類，把真類當成集合。”這無疑也是十分中肯的。
2、考察“自身”一詞
在語言中，“自身”與“自己”、“本身”等詞一樣是具有指稱功能的返身代詞，它可以站在概念結構系統里的每一個概念的角度來進行自我指稱。
返身代詞的這種巨大能動性，正是造成“本語句是假的”之類所謂“語義悖論”的重要原因。在這裡，“本語句”的指稱轄域是不明確的,它可以指“本語句”，也可以指“本語句是假的”、“‘本語句是假的’是假的”……等等。隨著指代的推移，再疊加以否定性的斷定，就象負數的乘法一樣可以得到真、假、真、假……等一系列循環性的真值。古希臘智者們常用這種游移概念的手段來做愚弄人的語言遊戲。
在集合論悖論中，“自身”一詞既可以指“不屬於自身的類”，又可以指“不屬於自身的那些類構成的類”這兩個不同層次的概念。此一“自身”與彼一“自身”本已難於分清，在這渾水之下還掩藏了一個更關鍵性問題，即：此一“自身”的“不屬於自身”的性質能否順延為彼一“自身”的性質。
3、考察“不屬於自身的那些類構成的類”
當自身一詞由指代“不屬於自身的類”到指代這個類構成的類的時候，人們憑著常識不假思索地認定，這個類的類仍然保持著“不屬於自身”的性質，並且應當歸屬於“不屬於自身”的類。這個由羅素、弗雷格等人經過仔細檢查自以為萬無一失的推論，卻正是失之所在。
概念的形成過程明示我們，某一性質為一類事物所共同具有，那么這一性質就只能形成一個類的概念。具有這一性質的對象不管有多少個，不管存在於什麼地方，都毫無例外地屬於這個類，不可能再形成同一性質的類的類。正如男人的男人、動物的動物不能成立一樣，“不屬於自身”的類所構成的類是不可能成立的，同理，“屬於自身”的類所構成的類也是不能成立的。當然，一個類之上可以形成高一層次的類，但高一層次的類正是在捨棄了低一層次類的特有屬性的基礎上由高一層次的共有屬性所構成。男人之上的類應當是人，動物之上的類應當是生物。如果在“不屬於自身”的類之上還有一個類，那么，這個類的類便不再以“不屬於自身”為共有性質。如果還按這一性質來推論，推出悖論便在所難免。
“不屬於自身”的類的類或者“屬於自身”的類的類與“方的圓”等怪誕概念有某些相似之處，都代表子虛烏有之物。它們不但在客觀世界中不存在，而且在人的思維中不存在，甚至在想像中也無法存在。我國學者張鐵聲先生證明了被稱為“羅素集”的“類K”不存在。這樣的概念只能是一種語言的存在，即語言符號的任意構造物。但是，集合理論恰恰允許任意的構造。弗雷格在《算術的基本規律》第一卷給出概括原則，它斷言：“每一性質決定一個集合”，詳細的說法是：任意給出一個性質P，存在著一個集合S，它的元素恰好是具有性質P的那樣一些對象。這個原則為脫離人類思維中概念結構系統的制約，完全憑藉語言符號任意構造概念開了方便的綠燈。應當承認，一個性質是能夠形成一個類或一個集合。但是，這種性質是有限制的，它必須來源於客觀事物、客觀規律，來源於人類概念結構或知識結構。脫離這種限制的“每一性質”就有可能產生諸如“不屬於自身的”類的類這樣層次結構混亂的概念，或“方的圓”這樣不可思義的概念。以這種概念構造邏輯系統，產生悖論和怪論都是一種必然。弗雷格晚年曾意識到，集合論悖論是由無指稱對象的專名引起的。他寫道：“對思維可靠性的災難是：存在一種用語言創造沒有相應對象的專名的傾向。……由此就產生了集合論悖論。我自己就被這種騙人的外表所愚弄，我企圖通過把它們看作集合而給出數的邏輯基礎。”
中國有句古詩“不識廬山真面目，只緣身在此山中”，用愛因斯坦的哲學語言來解釋，就是：我們面對的重大問題無法在我們製造出這些問題的思考層次上解決。同樣，集合論悖論也只有跳出集合論的思考層次才能解決。概念具有結構系統的觀點為我們對集合論悖論進行顯微觀察提供了可能。撥開重重迷霧，不難發現，集合論悖論只不過是一種混淆概念、游移概念和任造概念所造成的簡單邏輯錯誤。
