映射空間

映射空間亦稱函式空間，拓撲學的一個基本概念。它是一類重要的拓撲空間，設X，Y是集合，F為X到Y的映射組成的族，在F上引入拓撲使之成為拓撲空間，則稱F為映射空間。在映射空間理論中常見的拓撲有點態收斂拓撲、緊開拓撲、一致收斂拓撲、緊收斂拓撲等。

基本介紹

• 中文名：映射空間
• 外文名：topological space
• 別稱：函式空間
• 所屬領域：拓撲學

點式收斂拓撲

設X為一個集合， 為一個拓撲空間．從X到Y的所有映射構成的集合記作

={ 為映射}.

實際上，它就是以X為指標集的笛卡兒積 對 ，令 為 的第x個投射，則對 恰為映射f在點x處的像，因此，我們將投射 改稱為 在點x∈X處的賦值映射。

另一方面， 的積拓撲 便是以 ={ 為 中的開集，x∈X }為子基的拓撲，並稱 為 的點式收斂拓撲，而 稱為從集合X到拓撲空間 的映射空間(點式收斂拓撲)。

由於映射空間(點式收斂拓撲)是一類特殊的拓撲積空間，因此，關於拓撲積空間的一般理論全部適用於它，無須另行證明。

定理1 設X為一個集合， 為一個拓撲空間，則映射空間 (點式收斂拓撲)為 空間 Y為平庸拓撲空間，或者X為至多可數集並且Y為 空間。

定理2 設X為任一集合，Y為一個拓撲空間，則映射空間 (點式收斂拓撲)為 ( 正則，完全正則，連通，路連通，緊緻)空間 Y為 ( ，正則，完全正則，連通，道路連通，緊緻)空間。

對於連續映射，我們引進

定義2 設 與 為兩個拓撲空間， 為從 到 的所有連續映射構成的集合，則 ，C(X，Y) 作為映射空間 (點式收斂拓撲)的子拓撲空間稱為從拓撲空間 到拓撲空間 的連續映射空間(點式收斂拓撲)，並且C(X，Y) 的拓撲也稱為點式收斂拓撲。

C(X，Y) 作為 的子拓撲空間，自然可以繼承 的許多拓撲性質．例如，當Y為 ( ，正則、完全正則、連通、道路連通、緊緻)時，由可積性知，映射空間 (點式收斂拓撲)為 ( ，正則，完全正則、連通、道路連通、緊緻)空間，再根據遺傳性，連續映射空間C(X，Y) (點式收斂拓撲)也為 ( ，正則，完全正則、連通、道路連通、緊緻)空間。

一致收斂度量

定義3 設X為一個集合，﹙Y，ρ﹚ 為一個度量空間，記 為從X到Y的所有映射構成的集合，定義

對

容易驗證 為 的一個度量，稱它為 的一致收斂度量，度量空間 稱為映射空間(一致收斂度量)，由一致收斂度量 誘導出來的拓撲 稱為 的一致收斂拓撲．拓撲空間 稱為映射空間(一致收斂拓撲)。

當 為一個拓撲空間時，從 到 的所有連續映射構成的集合 作為度量空間 的子度量空間，稱為連續映射空間(一致收斂度量)，此時它的度量也稱為一致收斂度量；它作為拓撲空間 的子拓撲空間稱為連續映射空間(一致收斂拓撲)，此時它的拓撲也稱為一致收斂拓撲。

定理3設X為集合，﹙Y，ρ﹚ 為一個度量空間．在度量空間 (一致收斂度量)中的一個序列 收斂於 序列 一致收斂於 ，即 ，當 時，

定理4 設X為一個集合，﹙Y，ρ﹚ 為一個完備度量空間，映射空間(一致收斂度量) 也為一個完備度量空間。

定理5 設 為一個拓撲空間， ﹙Y，ρ﹚為一個度量空間，則從 到 的所有連續映射構成的集合 為映射空間(一致收斂拓撲)中的一個閉集，因此，度量空間C(X，Y) (一致收斂度量)也是一個完備度量空間。

緊緻-開拓撲

定義4 設X與Y為兩個拓撲空間，W為X的全體緊緻子集構成的集族，則從X到Y的全體映射構成的集合 的W一開拓撲 稱為 的緊緻一開拓撲，拓撲空間( ， )稱為映射空間(緊緻一開拓撲)。

從X到Y的全體連續映射構成的集合C(X，Y) 作為映射空間 (緊緻一開拓撲)的子拓撲空間稱為連續映射空間(緊緻一開拓撲)；並且 的緊緻一開拓撲 在C(X，Y)上的限制 也稱為C(X，Y) 的緊緻一開拓撲。

定理6 設X與Y為兩個拓撲空間， 與 分別為從X到Y的全體映射構成的集合 的點式收斂拓撲與緊緻一開拓撲，則 。

定理7 設X與Y為兩個拓撲空間，如果Y為 空間，則映射空間 (緊緻一開拓撲)以及連續映射空間C(X，Y) (緊緻一開拓撲)也為 空間。

定理8 設X為緊緻空間，﹙Y，ρ﹚ 為一個度量空間，則連續映射空間C(X，Y) 的一致收斂拓撲與緊緻一開拓撲相同。