基本介紹
- 中文名：龐加萊映射
- 外文名：Poincare map
- 目的：更清楚地了解運動的形態
- 相關：龐加萊截面
- 實質：離散相點
- 領域：數學、物理
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龐加萊映射
龐加萊映射是由相空間中軌線運動定義的一種映射。當軌線反覆穿越同一截面時，反映後繼點對先行點依賴關係的映射。一個連續非線性動力系統的求解是非常困難的，法國數學家龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)給出了相圖分析法。在相圖中雖然不能定量地知道物理量隨時間的變化，但可以定性地得到軌線的形態類型及其拓撲結構，從而了解動力系統運動的全局圖像。為了更清楚了解高維相空間運動的形態，龐加萊在連續運動的軌線上用一個截面(稱龐加萊截面)將其橫截，軌線在截面上穿過的情況就可以簡捷地判斷運動的形態.以S記龐加萊截面，xn(n=0，1，2，…)為軌線前一次穿過S的點，xn+1為軌線後一次穿過S的點，xn+1可看成xn的一種映射：
xn+1=f(xn) (n=0，1，2，…)，
這個映射就稱為龐加萊映射。這樣就可從概念上把一個連續的運動化簡為離散映射來研究。
同時，該映射的不動點則反映相空間的周期運動。如果運動是二倍周期的，則在龐加萊截面有兩個不動點；如果運動是四倍周期的，則有四個不動點等。
映射
映射亦稱函式。數學的基本概念之一。也是一種特殊的關係。設G是從X到Y的關係，G的定義域D(G)為X，且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y的映射。即關係G為映射時，應滿足下列兩個條件：
1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).
2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).這個被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X)。f(x)滿足：
1) f(x)∈Y.
2) G(x，f(x))成立(x∈X).
3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).
關係G常使用另一些記號：f：X→Y或XY。f與G的關係是y=f(x)(x∈X)，若且唯若G(x，y)成立。可取變域X中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變數。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變數。始集X稱為映射f的定義域.記為D(f)或dom(f)。終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f)。Y中與X中的元素有關係G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f)。當y=f(x)時，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。對於AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象。記為f(A)。對於BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。
相空間
相空間又稱“相宇”。 經典統計物理學中為描述系統的微觀狀態 所採用的多維空間。如果只考慮微觀粒子 的移動，則每一個粒子的運動狀態可以由 空間位置x、y、z以及相應動量分量px、 py、pz來確定。對於N個粒子組成的系統， 如以N個粒子的x1、y1、z1、…、xN、yN、 zN、px1、py1、pz1、…、pxN、pyN、pzN為坐 標軸，組成6N維空間，則該空間中的每一 點，即代表系統的一個微觀狀態，點的運動 則代表微觀狀態的變化，這種空間稱為“相 空間”或“γ空間”。如以x、y、z、px、py、 pz為坐標軸，組成6維空間，則空間中每一 點代表處於一定運動狀態的一個粒於系 統的微觀狀態則由N個點的集合來代表，點集的運動則代表微觀狀態的變化，這種空間稱為“子相空間”或“μ空間”。如果還 要考慮除移動以外其他的微觀運動形態， 如轉動、振動等，則相空間的維數相應增 加。
相圖
相圖表示不均勻體系中“相”與成分、溫度、壓強等熱力學參數之間關係。從被測定的相圖的種類而言，有平衡圖、亞穩圖和表達某種特性的相圖。其中以平衡圖研究套用的最為廣泛。
平衡圖是表示不同溫度、壓力以及不同成分下物體系中各相熱力學平衡關係的一種圖解，也稱作狀態圖。等溫等壓條件下，熱力學平衡狀態總是對應於系統總的Gibbs自由能G最低的狀態。因此，原則上說，總是可以由已知各相在給定溫度和壓強下的自由能G隨成分變化的相對關係求出平衡圖，當今不少相圖計算的工作就是基於這樣的思想。平衡圖更多是由實驗測定的，常用的實驗方法有熱分析法、金相法、X射線法、電阻法、膨脹法以及磁性法、硬度法，熱電勢法等等。最常用的平衡圖是在定壓條件下用溫度-成分表征的平衡圖，如二元相圖、三元相圖等.二元相圖指由二組元組成體系的相圖，由於表征成分的獨立變數只有一個(x1+x2=1)，常用橫坐標表示成分(可以是重量百分數，也可以是原子百分數)，縱坐標表示溫度.所以等壓下的二元相圖是一個平面圖.最簡單類型的二元相圖有勻晶相圖、共晶相圖、包晶相圖、形成化合物(或中間相)的相圖、偏晶相圖，以及有固態轉變的共析、包析等的相圖。從這些相圖可以知道不同成分的合金，在某溫度下的平衡狀態有哪些相，溫度改變時，可能發生哪些轉變，在兩相平衡區還可以利用槓桿定律知道各相的相對數量和相的成分等等。
實際固體材料中，不少相是處於亞穩狀態，這種狀態決定於溫度、壓力和其它條件的連續變化，因而構成了一個比平衡圖更複雜的體系。圖1為Al-Cu合金中G.P.區和θ″相溶解度的相圖。G.P.區和θ″相都是亞穩相，所以這是一個亞穩相圖。由於非晶材料、準晶材料和快冷技術的出現，亞穩相圖的研究已成為一個值得重視的方向。
人物簡介——龐加萊
法國著名數學家、天文學家、物理學家和科學哲學家。1875年畢業於巴黎多科工藝學校，1879年以關於微分方程一般解的論文獲得博士學位，同年到卡昂大學任教。1881年入巴黎大學任教授，直到去世。他一生寫下了將近500篇科學論文和30部專著，這還不包括頗受歡迎的科學哲學著作和趣味盎然的科普著作。他的貢獻幾乎遍及了當時數學和物理學的全部領域。
龐加萊對數學的第一個重大貢獻是在1880年以後創立了自守函式理論，解決了解析函式的單值化問題。
1884年法國《數學學報》連續發表了他關於這一課題的5篇論文，立即使他獲得了世界性的聲譽。他又是多復變解析函式論的創始人，並在1883年的一篇短文中首先研究整函式的格與其泰勒展開的係數或者函式的絕對值的增長率之間的關係，成為整函式與亞純函式理論的開端。他最傑出的貢獻是創立了微分方程定性理論，他於1880—1886年發表的四篇大論文，使這一分支在一開始就發展到了幾乎完善的地步。1885年以後.他關於微分方程的論文都涉及天體力學，特別是三體問題，首創天體力學的嚴格處理方法，並因對三體問題的研究於1889年第一個獲得瑞典國王奧斯卡二世為“n體問題”設立的獎金.為了進一步研究線性微分方程，他對發散級數進行了深入討論，開創了漸近展開理論。在代數學中，他第一次引入了左理想與右理想的概念。1901年他的一篇數論論文成為有理數域(或代數數域)上的代數幾何學的開端。1901—1911年他關於代數曲面F(x，y，z)=0中所含的代數曲線的幾篇論文對代數幾何作出了突出貢獻。對代數拓撲學，他創造了單形的同調論的一整套方法，並由此引發了一系列重要結果.他又是數學基礎的直覺主義學派的先驅之一.此外，他對相對論和量子理論做出了具有啟發性的貢獻.他的科學哲學思想對20世紀眾多的科學家和哲學家產生了深遠的影響.他被譽為“理性科學的活躍智囊”，“本世紀初唯一留下的全才”，是對數學和它的套用具有全面知識的一個人。
